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valeur de ce coefficient relativement à l’abscisse $x$ on aura

$y'+\delta y'=y'+\omega '+{\frac {d(y'+\omega ')}{dx}}\delta x+$etc. ;

d’où il résulte

$\omega '=\delta y'-y''\delta x\,;$

et ces expressions de $\omega$ et $\omega '$ ayant lieu en un point quelconque de la courbe, on aura, à ses extrémités,

${\begin{alignedat}{2}\omega _{0}=&\delta y_{0}-y'_{0}\delta x_{0},\qquad &\omega '_{0}=&\delta y'_{0}-y''_{0}\delta x_{0},\\\omega _{\text{ı}}=&\delta y_{\text{ı}}\ -y'_{\text{ı}}\delta x_{\text{ı}},&\omega '_{\text{ı}}=&\delta y'_{\text{ı}}\ -y''_{\text{ı}}\delta x_{\text{ı}},\end{alignedat}}$

comme dans la formule (3).

Cette analyse est le complément de celle qui est exposée dans le Methodus inveniendi, etc., et dont on faisait usage avant l’invention du calcul des variations. On se bornait alors à considérer la variation d’une seule, ou du moins, d’un nombre limité de valeurs intermédiaires de y ; ce qui conduisait à une expression de $\delta \mathrm {U} ,$ composée d’un pareil nombre de parties semblables à la formule $(a),$ et laissait inconnue la partie de $\delta \mathrm {U}$ qui répond aux limites de $\mathrm {U} .$ La comparaison de cette analyse à celle du n^o 2, suffit déja pour montrer tout l’avantage du procédé de l’intégration par partie, qui serait d’ailleurs encore bien plus difficile à remplacer par la décomposition en éléments infiniment petits, dans le cas des intégrales relatives à deux ou plusieurs variables indépendantes.

(5) Maintenant supposons qu’il s’agisse de déterminer $y$ en fonction de $x,$ ainsi que les limites de $\mathrm {U}$ de manière que cette intégrale soit un maximum ou un minimum. Si l’on