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désigne par $\alpha$ une constante infiniment petite, et que l’on remplace $\delta x$ et $\delta y$ par $\alpha \delta x$ et $\alpha \delta y,$ l’accroissement entier de $\mathrm {U}$ s’exprimera par une série ordonnée suivant les puissances de $\alpha ,$ dont le premier terme sera $\alpha \delta \mathrm {U} .$ Or, ce premier terme changeant de signe avec $\alpha ,$ on en conclura

$\delta \mathrm {U} =0,$

pour l’équation commune au maximum et au minimum de $\mathrm {U} .$ Quant à la distinction de ces deux cas, dont nous ne nous occuperons pas dans ce Mémoire, elle dépendra, comme on sait, du signe que prendra le second terme de la série.

Cette équation devant subsister pour des valeurs entièrement arbitraires de $\delta x$ et de $\delta y,$ et $\omega$ étant, par conséquent, une fonction arbitraire de $x,$ il faudra que l’ințégrale contenue dans la formule (3), et la partie comprise hors du signe $\int ,$ soient séparément nulles ; par la même raison, cette intégrale ne pourra être nulle, à moins que $\mathrm {H}$ ne soit zéro ; on aura donc les deux équations

$\Gamma =0,\qquad \mathrm {H} =0,$

dont la seconde, savoir :

$\mathrm {N-P'+Q''-R'''} +{\text{etc.}}=0,\qquad (4)$

fera connaître $y$ en fonction de $x$ et d’un certain nombre de constantes arbitraires. Ces constantes et les deux limites $x_{0}$ et $x_{\text{ı}}$ se détermineront, en général, au moyen des équations qu’on déduira de $\Gamma _{0},$ jointes aux conditions particulières auxquelles les limites de $\mathrm {U}$ pourront être assujetties. Je dis en général ; car il y a un cas, comme on le verra plus loin,