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où l’équation $\Gamma =0$ disparaîtra, et où les constantes resteront en partie indéterminées.

Si $\mathrm {V}$ est une fonction différentielle de l’ordre $n,$ non-linéaire par rapport à y^{(0)}, l’équation (4) sera de l’ordre $2n,$ et son intégrale, que je représenterai par \mathrm X=0, contiendra un nombre 2n de constantes arbitraires c,c',c,\text{etc}. D’un autre côté, si les limites de $\mathrm {U}$ ne sont assujéties à aucune condition donnée, les variations

$\delta x_{0},\,\delta y_{0},\,\delta y'_{0},\,\ldots \delta y_{0}^{(n-1)},\,\ \delta x_{\text{ı}},\,\delta y_{\text{ı}},\,\delta y'_{\text{ı}},\,\ldots \delta y_{\text{ı}}^{(n-1)},$

qui s’y rapportent et dont $\Gamma$ est une fonction linéaire, devront être considérées comme des constantes arbitraires et indépendantes entre elles ; leurs coefficients devront donc être séparément nuls dans l’équation $\Gamma =0\,;$ ce qui fournira un nombre d’équations égal à $2n+2.$ En y joignant

$\mathrm {X} _{0}=0,\,\mathrm {X} '_{0}=0,\,\ldots \mathrm {X} _{0}^{(n-1)}=0,\,\mathrm {X} _{\text{ı}}=0,\,\mathrm {X} '_{\text{ı}}=0,\,\ldots \mathrm {X} _{\text{ı}}^{(n-1)}=0,$

on aura $4n+2$ équations qui serviront à déterminer les $2n$ constantes $c,c',c'',$ etc., et les quantités $x_{0},\,y_{0},\,y'_{0},\,\ldots y_{0}^{(n-1)},$ $x_{\text{ı}},\,y_{\text{ı}},\,y'_{\text{ı}},\,\ldots y_{\text{ı}}^{(n-1)}.$

Si, au contraire, quelques-unes de ces dernières quantités sont données, ou, plus généralement, si elles sont liées entre elles, dans un problème particulier, par des équations données, telles que

$\mathrm {A} =0,\qquad \mathrm {B} =0,$ etc.,

il faudra qu’on ait

${\begin{alignedat}{4}{\frac {d\mathrm {A} }{dx_{0}}}\delta x_{0}&+{\frac {d\mathrm {A} }{dy_{0}}}\delta y_{0}&&+{\text{etc}}.&&+{\frac {d\mathrm {A} }{dx_{\text{ı}}}}\delta x_{\text{ı}}&&+{\frac {d\mathrm {A} }{dy_{\text{ı}}}}\delta y_{\text{ı}}+{\text{etc}}.&&=0,\\{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{0}}}\delta x_{0}&+{\frac {d\mathrm {B} }{dy_{0}}}\delta y_{0}&&+{\text{etc}}.&&+{\frac {d\mathrm {B} }{dx_{\text{ı}}}}\delta x_{\text{ı}}&&+{\frac {d\mathrm {B} }{dy_{\text{ı}}}}\delta y_{\text{ı}}+{\text{etc}}.&&=0,\end{alignedat}}$