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Au moyen de chacune de ces équations, on éliminera l’une des variations contenues dans $\Gamma =0\,;$ après quoi, l’on égalera séparément à zéro les coefficients des variations restantes : le nombre des équations que l’on formera de cette manière, joint à celui des équations données $\mathrm {A} =0,\,\mathrm {B} =0,$ etc., et des équations $\mathrm {X} _{0}=0,\,\mathrm {X} _{\text{ı}}=0,$ etc., sera encore égal à $4n+2,$ comme dans le cas précédent. Au lieu d’effectuer l’élimination que nous indiquons, on pourra, si l’on veut, multiplier les équations $\delta \mathrm {A} =0,\,\delta \mathrm {B} =0,$ etc., par des facteurs indéterminés $a,\,b,$ etc., et les ajouter à $\Gamma =0\,;$ ce qui donnera l’équation

$\Gamma +a\delta \mathrm {A} +b\delta \mathrm {B} +{\text{etc}}.=0,$

dans laquelle on égalera séparément à zéro, le coefficient de chacune des variations $\delta x_{0},\,\delta y_{0},\,{\text{etc}}.,\,\delta x_{\text{ı}},\,{\text{etc}}.,$ comme si elles étaient indépendantes entre elles. Le nombre total des équations qu’on aura alors, sera égal à $4n+2,$ augmenté du nombre des facteurs $a,\,b,$ etc., et se réduira à $4n+2,$ après l’élimination de ces facteurs.

Lorsque $\mathrm {V}$ sera linéaire par rapport à $y^{(n)},$ l’équation (4) ne contiendra plus $y^{(n-1)},$ et s’abaissera à l’ordre $2n-1\,;$ son intégrale complète ne contiendra donc plus que $2n-1$ constantes arbitraires ; et le nombre des équations relatives aux limites de $\mathrm {U}$ étant toujours le même qu’auparavant, il s’ensuit que le problème ne pourra être résolu qu’avec quelques restrictions. Dans d’autres cas particuliers, l’ordre de l’équation (4) s’abaissera encore davantage, et la solution du problème sera d’autant plus restreinte. Si cette équation admet une ou plusieurs solutions particulières, on pourra s’en servir pour résoudre le problème, mais d’une manière