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(6) Le problème que nous venons de résoudre se décompose naturellement en deux autres que I’on peut considérer successivement.

En premier lieu, on peut regarder comme données les valeurs de $x_{0},\,y_{0},\,y'_{0},$ etc., $x_{\text{ı}},\,y_{\text{ı}},\,y'_{\text{ı}},$ etc., et chercher l’expression de $y$ en fonction de $x$ et de ces quantités, qui rend $\mathrm {U}$ un maximum ou un minimum. Pour cela, soit $\omega$ une quantité infiniment petite, qui sera une fonction arbitraire de $x\,;$ si l’on suppose que $y$ devienne $y+\omega ,$ ses coefficients différentiels $y',\,y'',$ etc., deviendront en même temps $y'+\omega ',\,y''+\omega '',$ etc. ; et à cause que les limites $x_{0},$ et $x_{\text{ı}},$ ne varient pas, on aura

$\delta \mathrm {U} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {N\omega +P\omega '+Q\omega ''} +{\text{etc}}.)dx\,;$

$\mathrm {N,\,P,\,Q} ,$ etc., étant les mêmes que précédemment. Par l’intégration par partie, et en observant que $\omega ,\omega ',\omega '',$ etc., doivent être zéro aux deux limites, puisque les valeurs extrêmes de $y,\,y',\,y'',$ etc., sont supposées fixes, on transformera cette expression de $\delta \mathrm {U}$ en celle-ci :

$\delta \mathrm {U} =\int _{x_{0}}^{x_{1}}(\mathrm {N-P'+Q''} +{\text{etc}}.)\omega dx\,;$

et pour qu’elle soit nulle dans le cas du maximum ou du minimum, il faudra qu’on ait

$\mathrm {N-P'+Q''} -{\text{etc}}.=0,$

comme dans le numéro précédent. On déduira de cette équation, la valeur de $y$ en fonction de $x$ et d’un certain nombre de constantes arbitraires ; ces constantes se détermineront