![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\int \mathrm {V} dx=&\int \operatorname {F} (x,0,0,0,{\text{etc}}.)dx\\&+\int _{0}^{1}\left[y\Phi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.)+y'\Psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.)\right.\\&\qquad \qquad \left.+y''\Pi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.)+{\text{etc}}.\right]du,\end{aligned}}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bbf5c14f6e0b917a87964640821e46fc208ff6e)
où l’on peut supposer que la constante arbitraire est renfermée dans l’une des deux intégrales indéfinies.
Ainsi, lorsque l’équation a lieu identiquement, l’intégrale indéfinie s’exprime au moyen de l’intégrale indéfinie d’une fonction donnée de la seule variable et de l’intégrale définie relative à une seule variable d’une fonction dont la composition est aussi donnée par rapport à cette variable. Dans chaque cas, on obtiendra les valeurs des deux intégrales contenues dans la formule (10), soit exactement par les méthodes connues, soit par la réduction en série, soit enfin par les quadratures.
(11) Prenons actuellement pour une fonction donnée de etc., etc., que nous représenterons par
Supposons que soit une différentielle exacte indépendamment d’aucune relation déterminée entre Il faudra que le signe disparaisse de la formule (5) ; ce qui exigera que les deux quantités et soient identiquement nulles. Réciproquement, lorsque ces deux conditions serout remplies, sera une différentielle exacte, et l’on pourra exprimer son intégrale de la manière suivante.
