Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 12.djvu/376

Les quantités $\mathrm {P,Q,R} ,$ etc., $p,q,r,$ etc., étant les mêmes que dans le n^o 7, je fais

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {P} -&\mathrm {Q} '&&+\mathrm {R} ''&&-{\text{etc}}.&&=\Phi (x,y,y',{\text{etc}}.z,z',{\text{etc}}.),\\&\,\mathrm {Q} &&-\mathrm {R} '&&+{\text{etc}}.&&=\Psi (x,y,y',{\text{etc}}.z,z',{\text{etc}}.),\\&&&\ \quad \mathrm {R} &&-{\text{etc}}.&&=\Pi (x,y,y',{\text{etc}}.z,z',{\text{etc}}.),\\&&&&&\;\quad {\text{etc}}.\,;\\p-&q'&&+r''&&-{\text{etc}}.&&=\varphi (x,y,y',{\text{etc}}.z,z',{\text{etc}}.),\\&\,q&&-r'&&+{\text{etc}}.&&=\psi (x,y,y',{\text{etc}}.z,z',{\text{etc}}.),\\&&&\ \quad r&&-{\text{etc}}.&&=\varpi (x,y,y',{\text{etc}}.z,z',{\text{etc}}.),\\&&&&&\;\quad {\text{etc}}.\,;\end{alignedat}}$

Cela étant, je désigne par $\omega$ une fonction de $x,$ infiniment petite et arbitraire, puis je donne successivement à $y,$ sans changer $x$ et $z,$ la série des valeurs $0,\,\omega ,\,2\omega ,\,3\omega ,$ etc., prolongée jusqu’à un multiple infini de $\omega .$ En prenant la somme des valeurs correspondantes de $\delta \mathrm {U}$ et ayant égard à l’équation identique $\mathrm {H} =0,$ j’en conclus, comme dans le numéro précédent,

${\begin{aligned}\int \mathrm {V} dx=&\int \operatorname {F} (x,0,0,0,{\text{etc}}.,z,z',z'',{\text{etc}}.)dx\\&+\int _{0}^{1}\left[y\Phi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)\right.\\&\qquad \qquad +y'\Psi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)\\&\qquad \qquad +\left.y''\Pi (x,yu,y'u,{\text{etc}}.,z,z',{\text{etc}}.)+{\text{etc}}.\right]du.\end{aligned}}$

L’équation $\mathrm {K} =0$ ayant lieu pour $y=0$ et quelle que soit la valeur de $z,$ on aura donc