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En supposant que dans l’intégrale $\int _{x_{0}}^{x_{1}}\mathrm {V} dx,$ la fonction donnée $\mathrm {V}$ ne renferme pas explicitement les limites $x_{0}$ et $x_{1},$ non plus que les valeurs extrêmes de $y,y',y'',$ etc., le terme $\Gamma$ de la formule (3) sera de la forme

$\Gamma =\zeta _{1}-\zeta _{0}\,;$

$\zeta _{0}$ et $\zeta _{1}$ étant ce que devient une même fonction de $x,\,y,\,y',\,y'',$ etc., et de leurs variations, à la première et à la seconde limite de l’intégrale. Or, s’il s’agit d’un problème relatif à une courbe plane, on pourra prendre pour les variables $y$ et $x,$ le rayon vecteur $r$ d’un point quelconque, et l’angle que ce rayon fait avec une ligne fixe, menée arbitrairement par son origine dans le plan de la courbe ; de plus, si la courbe demandée doit être une courbe fermée, on pourra placer dans son intérieur l’origine des coordonnées polaires $r$ et $\theta \,;$ et dans cette hypothèse, le rayon vecteur $r$ sera une quantité positive qui n’aura que des valeurs finies, celles de la variable s’étendront depuis zéro jusqu’à la circonférence $2\pi ,$ et les limites de l’intégrale seront

$\theta _{0}=0,\qquad \theta _{1}=2\pi .$

Mais ces limites répondant à un même point de la courbe fermée, leurs variations $\delta \theta _{0}$ et $\delta \theta _{1}$ seront égales entre elles ; par la même raison, on aura

$r_{1}=r_{0},\qquad r'_{1}=r'_{0},\qquad r''_{1}=r''_{0},$ etc.

$\delta r_{1}=\delta r_{0},\qquad \delta r'_{1}=\delta r'_{0},\qquad \delta r''_{1}=\delta r''_{0},$ etc. ;

et si l’angle $\theta$ n’entre pas dans $\mathrm {V}$ hors des signes trigonométriques, il en résultera $\zeta _{1}=\zeta _{0}\,;$ ce qui fait évanouir la quantité $\Gamma .$ Il en serait de même si la fonction $\mathrm {V}$ renfermait deux ou plu-