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sieurs inconnues indépendantes ou liées entre elles par des équations données : s’il s’agissait, par exemple, d’une courbe à double courbure, tracée librement dans l’espace, ou sur une surface donnée.

Ainsi, dans les problèmes relatifs aux courbes fermées, les équations qui répondent aux limites des intégrales et qui se déduiraient de $\Gamma =0,$ disparaîtront, et par suite les constantes introduites par les intégrations pourront rester indéterminées.

(17) Pour donner un exemple de ce genre de questions, proposons-nous de trouver la courbe plane et fermée, d’une longueur donnée, qui enveloppe le plus grand espace.

En appelant $l$ cette longueur et employant les coordonnées polaires $r$ et $\theta ,$ on aura

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}}}=l\,;$

l’intégrale qui devra être un maximum relatif sera ${\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }r^{2}d\theta \,;$ et si l’on désigne par $a$ une constante inconnue, et qu’on fasse

$\mathrm {V} ={\frac {1}{2}}r^{2}+a{\sqrt {r^{2}+r'^{2}}},\qquad \mathrm {U} =\int _{0}^{2\pi }\mathrm {V} d\theta ,$

ce sera cette dernière integrale qui devra être un maximum absolu.

En observant que les quantités $x,\,y,\,y',$ sont remplacées par $\theta ,\,r,\,r',$ nous aurons

${\begin{aligned}\mathrm {N} =&{\frac {d\mathrm {V} }{dr}}=r+{\frac {ar}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}}}},\\\mathrm {P} =&{\frac {d\mathrm {V} }{dr'}}={\frac {ar'}{\sqrt {r^{2}+r'^{2}}}},\end{aligned}}$