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les autres quantités $\mathrm {Q,\,R} ,$ etc., qui entrent dans l’équation (4), seront nulles ; et cette équation se réduira à

$\mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {P} }{d\theta }}.$

On aura donc

$d\mathrm {V} =\mathrm {N} dr+\mathrm {P} dr'={\frac {d\mathrm {P} }{d\theta }}r'd\theta +\mathrm {P} dr'\,;$

et en intégrant et désignant par $c$ la constante arbitraire, il en résultera

$\mathrm {V} =\mathrm {P} r'+c.$

Je substitue dans cette équation, les valeurs de $\mathrm {V}$ et $\mathrm {P} ,$ puis je la résous par rapport à $d\theta \,;$ il vient

$d\theta ={\frac {\left(r^{2}-2c\right)dr}{r{\sqrt {4a^{2}r^{2}-\left(r^{2}-2c\right)^{2}}}}}\,;$

formule qui s’intègre par les règles connues.

Si l’on égale à zéro la quantité comprise sous le radical, on aura

$r^{4}-4\left(a^{2}+c\right)r^{2}+4c^{2}=0\,;$

les deux racines de cette équation seront le maximum et le minimum de $r^{2},$ qui doivent être réels et positifs, puisqu’il s’agit d’une courbe fermée ; je désigne par $h$ et $k$ les valeurs correspondantes de $r\,;$ il en résulte

$4\left(a^{2}+c\right)=h^{2}+k^{2},\qquad 4c^{2}=h^{2}k^{2}\,;$

et l’expression de $d\theta$ devient

$d\theta ={\frac {\left(r^{2}+hk\right)dr}{r{\sqrt {\left(h^{2}-r^{2}\right)\left(r^{2}-k^{2}\right)}}}}.$