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Le terme $hk$ du numérateur devrait être précédé du signe $\pm \,:$ on a pris le signe $+,$ parce que la courbe étant fermée et l’origine des coordonnées polaires ayant été placée dans son intérieur, l’angle $\theta$ doit croître sans limite, et sa différentielle ne doit devenir nulle pour aucune valeur de $r,$ telle que $r={\sqrt {hk}},$ comprise entre $h$ et $k.$

Je fais actuellement

$h^{2}-r^{2}=u^{2}\left(r^{2}-k^{2}\right),$

et j’en déduis

$d\theta ={\frac {du}{1+u^{2}}}+{\frac {hkdu}{h^{2}+k^{2}u^{2}}},$

ou bien, en intégrant,

$\theta =\operatorname {arc} .(\operatorname {tang} .=u)+\operatorname {arc} .\left(\operatorname {tang} .{\frac {ku}{h}}\right)\,:$

on n’ajoute pas de constante arbitraire ; ce qui revient à compter l’angle $\theta$ à partir du rayon $h,$ pour lequel on a $u=0.$ On aura donc

$\operatorname {tang} .\theta ={\frac {(h+k)u}{h-ku^{2}}},$

c’est-à-dire, en substituant pour $u$ sa valeur,

$\operatorname {tang} .\theta ={\frac {\sqrt {\left(h^{2}-r^{2}\right)\left(k^{2}-r^{2}\right)}}{hk-r^{2}}}.$

En faisant disparaître le radical et réduisant, on trouve

$r^{4}-2hkr^{2}+h^{2}k^{2}=(h-k)^{2}r^{2}\cos .^{2}\theta \,;$

d’où l’on tire

$r^{2}-hk=\pm (h-k)r\cos .\theta \,:$

on prendra le signe supérieur, afin d’avoir $r=h$ quand