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$\theta =0\,;$ et, en écrivant ensuite cette équation sous la forme :

$r^{2}-(h-k)r\cos .\theta +{\frac {1}{4}}(h-k)^{2}={\frac {1}{4}}(h+k)^{2},$

on voit qu’elle appartient à un cercle qui a ${\frac {1}{2}}(h+k)$ pour rayon et dont le centre est situé à une distance ${\frac {1}{2}}(h-k)$ de l’origine des coordonnées. La grandeur du diamètre $h+k$ se déduira de celle de la circonférence qu’on a représentée par $l,$ et l’autre constante $h-k$ restera indéterminée.

Au lieu d’une courbe fermée, si l’on eût demandé une portion de courbe d’une longueur donnée, terminée par deux points fixes, et telle que le secteur compris entre leurs rayons vecteurs et cette portion de courbe fût un maximum, l’équation précédente aurait encore été celle de la courbe cherchée ; mais il n’y resterait alors aucune constante indéterminée. En effet en appelant $f$ et $g$ les rayons vecteurs des deux extrémités de la courbe, $l$ sa longueur et $\alpha$ l’angle donné du secteur, on aura d’abord

${\frac {1}{2}}(h+k)={\frac {l}{\alpha }}\,;$

et si l’on représente par $\delta$ l’angle inconnu que fait le rayon $f$ avec le rayon $h,$ et, par conséquent, par $\alpha +\delta$ l’angle compris entre ce rayon $h$ et le rayon $g,$ de sorte qu’on ait à la fois $\theta =\delta$ et $r=f,$ $\theta =\alpha +\delta$ et $r=g,$ il en résultera

${\begin{aligned}&f^{2}-(h-k)f\cos .\delta +{\frac {1}{4}}(h-k)^{2}={\frac {l^{2}}{\alpha ^{2}}},\\&g^{2}-(h-k)f\cos .(\alpha +\delta )+{\frac {1}{4}}(h-k)^{2}={\frac {l^{2}}{\alpha ^{2}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on déduira, par l’élimination de $\delta ,$ l’équation qui servira à déterminer $h-k$ Ces deux équations sont identi-