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$\delta z_{(n)}^{(m)}=\delta z_{(n)}^{(m+1)}\delta x+\delta z_{(n+1)}^{(m)}\delta y+\omega _{(n)}^{(m)}\,;$

résultat auquel j’étais déja parvenu dans une autre occasion^[1], et qui m’avait servi à expliquer une difficulté relative à un passage de la Mécanique analytique.

Au moyen de cette formule générale, la variation de $\mathrm {V}$ prendra la forme :

${\begin{aligned}\delta \mathrm {V} &=(\mathrm {L} +\mathrm {N} z'+\mathrm {P} z''+\mathrm {Q} z'_{_{'}}+\mathrm {R} z'''+\mathrm {S} z''_{_{'}}+\mathrm {T} z'_{_{''}}+{\text{etc}}.)\\&+(\mathrm {M} +\mathrm {N} z_{_{'}}+\mathrm {P} z'_{_{'}}+\mathrm {Q} z_{_{''}}+\mathrm {R} z''_{_{'}}+\mathrm {S} z'_{_{''}}+\mathrm {T} z_{_{'''}}+{\text{etc}}.)\delta \,{?}\\&+\mathrm {N} \omega +\mathrm {P} \omega '+\mathrm {Q} \omega _{_{'}}+\mathrm {R} \omega ''+\mathrm {S} \omega '_{_{'}}+\mathrm {T} \omega _{_{''}}+{\text{etc}}.,\end{aligned}}$

ou, ce qui est la même chose,

${\begin{aligned}\delta \mathrm {V} =\mathrm {V} '\delta x+\mathrm {V} _{_{'}}\delta y&+\mathrm {N} \omega +\mathrm {P} \omega '+\mathrm {Q} \omega _{_{'}}\\+&\mathrm {R} \omega ''+\mathrm {S} \omega '_{_{'}}+\mathrm {T} \omega {_{''}}+{\text{etc}}.,\end{aligned}}$ (2)

(20) Considérons maintenant l’intégrale définie

$\mathrm {U} =\iint \mathrm {V} dx\,dy.$

D’après les règles connues pour la transformation des intégrales doubles, si l’on y regarde $x$ et $y$ comme des fonctions de deux autres variables indépendantes $u$ et $v,$ il faudra prendre

$dx\,dy=\left({\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {dy}{du}}\right)du\,dv\,;$

en sorte que l’on aura

$\mathrm {U} =\iint \mathrm {V} \left({\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {dy}{du}}\right)du\,dv.$

Je mets $x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z,$ à la place de $x,y,z,$ sous

1. Bulletin de la Société philomatique, année 1816, page 82.