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le signe $\iint .$ D’après ce qu’on a dit plus haut, il suffira que $\delta x,\,\delta y,\,\delta z,$ soient des fonctions arbitraires de $u$ et $v,$ et il ne sera pas nécessaire de faire varier les limites relatives à $u$ et $v,$ pour que l’intégrale $\mathrm {U}$ varie de la manière la plus générale, soit à l’égard de ses limites relatives à $x$ et $y,$ soit par rapport à la forme de la fonction $z\,;$ la variation complète de $\mathrm {U}$ sera donc

${\begin{aligned}\delta \mathrm {U} =\iint &\left({\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {dy}{du}}\right)\delta \mathrm {V} du\,dv\\+&\iint \left({\frac {dx}{du}}{\frac {d\delta y}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {d\delta y}{du}}+{\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta x}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta x}{dv}}\right)\mathrm {V} du\,dv.\end{aligned}}$

Mais d’après les formules du numéro précédent, on a

${\begin{aligned}{\frac {dx}{du}}{\frac {d\delta y}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {d\delta y}{du}}=&\left({\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {dy}{du}}\right){\frac {d\delta y}{dy}},\\{\frac {dy}{dv}}{\frac {d\delta x}{du}}-{\frac {dy}{du}}{\frac {d\delta x}{dv}}=&\left({\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {dy}{du}}\right){\frac {d\delta x}{dx}},\end{aligned}}$

nous aurons donc

$\delta \mathrm {U} =\iint \left(\delta \mathrm {V} +\mathrm {V} {\frac {d\delta x}{dx}}+\mathrm {V} {\frac {d\delta y}{dy}}\right)\left({\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dv}}-{\frac {dx}{dv}}{\frac {dy}{du}}\right)du\,dv,$

ou bien, en revenant aux variables $x$ et $y,$

$\delta \mathrm {U} =\iint \left(\delta \mathrm {V} +\mathrm {V} {\frac {d\delta x}{dx}}+\mathrm {V} {\frac {d\delta y}{dy}}\right)dx\,dy\,;$

formule dans laquelle les limites seront les mêmes que celles de $\mathrm {U} .$ J’y substitue la valeur de $\delta \mathrm {V}$ donnée par l’équation (2) ; et en observant que

${\begin{aligned}\mathrm {V} '\delta x+\mathrm {V} {\frac {d\delta x}{dx}}=&{\frac {d.\mathrm {V} \delta x}{dx}},\\\mathrm {V} _{_{'}}\delta y+\mathrm {V} {\frac {d\delta y}{dy}}=&{\frac {d.\mathrm {V} \delta y}{dy}},\end{aligned}}$