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il en résulte

${\begin{aligned}\delta \mathrm {\mathrm {U} } =&\left[\int \mathrm {V} \delta x\,dy\right]-\left(\int \mathrm {V} \delta x\,dy\right)+\left[\int \mathrm {V} \delta y\,dx\right]-\left(\int \mathrm {V} \delta y\,dx\right)\\&+\iint \mathrm {\left(N\omega +P\omega '+Q\omega _{_{'}}+R\omega ''+S\omega '_{_{'}}+T\omega _{_{''}}+etc.\right)} dx\,dy.\end{aligned}}$(3)

Par le procédé de l’intégration par partie convenablement employé, on fera disparaître les coefficients différentiels de sous le double signe $\iint .$ On a d’abord

${\begin{aligned}\iint \mathrm {P} \omega 'dx\,dy=&\left[\int \mathrm {P} \omega dy\right]-\left(\int \mathrm {P} \omega dy\right)-\iint \mathrm {P} '\omega dx\,dy,\\\iint \mathrm {Q} \omega _{_{'}}dx\,dy=&\left[\int \mathrm {Q} \omega dx\right]-\left(\int \mathrm {Q} \omega dx\right)-\iint \mathrm {Q} _{_{'}}\omega dx\,dy\,;\end{aligned}}$

par deux intégrations successives, on aura de même

${\begin{aligned}\iint \mathrm {R} \omega ''dx\,dy=&\left[\int \mathrm {R} \omega 'dy\right]-\left(\int \mathrm {R} \omega 'dy\right)\\&-\left[\int \mathrm {R} '\omega dy\right]+\left(\int \mathrm {R} '\omega dy\right)+\iint \mathrm {R} ''\omega dx\,dy,\\\iint \mathrm {T} \omega _{_{''}}dx\,dy=&\left[\int \mathrm {T} \omega _{_{'}}dx\right]-\left(\int \mathrm {T} \omega _{_{'}}dx\right)\\&-\left[\int \mathrm {T} _{_{'}}\omega dx\right]+\left(\int \mathrm {T} _{_{'}}\omega dx\right)+\iint \mathrm {T} _{_{''}}\omega dx\,dy\,;\end{aligned}}$

en intégrant d’abord par rapport à $y$ et ensuite par rapport à $x,$ il vient

${\begin{aligned}\iint \mathrm {S} \omega '_{_{'}}dx\,dy=&\left[\int \mathrm {S} \omega 'dx\right]-\left(\int \mathrm {S} \omega 'dx\right)\\&-\left[\int \mathrm {S} _{_{'}}\omega dy\right]+\left(\int \mathrm {S} _{_{'}}\omega dy\right)+\iint \mathrm {S} '_{_{'}}\omega dx\,dy\,;\end{aligned}}$

en suivant un ordre inverse on aurait