Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 12.djvu/407

${\begin{aligned}&+\left[\int \mathrm {R} \omega 'dy+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {S} \omega 'dx-{\text{etc}}.\right]\\&-\left(\int \mathrm {R} \omega 'dy+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {S} \omega 'dx-{\text{etc}}.\right)\\&+\left[\int \mathrm {T} \omega _{_{'}}dx+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {S} \omega _{_{'}}dy-{\text{etc}}.\right]\\&-\left(\int \mathrm {T} \omega _{_{'}}dx+{\frac {1}{2}}\int \mathrm {S} \omega _{_{'}}dy-{\text{etc}}.\right)\\&+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Les deux expressions qu’on a trouvées pour l’intégrale double $\iint \mathrm {S} \omega '_{_{'}}dx\,dy$ devant être identiques, il faut qu’on ait

${\begin{aligned}&\left[\int \mathrm {S} \omega 'dx\right]-\left(\int \mathrm {S} \omega 'dx\right)-\left[\int \mathrm {S} _{_{'}}\omega dy\right]+\left(\int \mathrm {S} _{_{'}}\omega dy\right)\\&\quad =\left[\int \mathrm {S} \omega _{_{'}}dy\right]-\left(\int \mathrm {S} \omega _{_{'}}dy\right)-\left[\int \mathrm {S} '\omega dx\right]+\left(\int \mathrm {S} '\omega dx\right),\end{aligned}}$

ou, ce qui est la même chose,

${\begin{aligned}&\left[\int (\mathrm {S} \omega '+\mathrm {S} '\omega )dx\right]-\left(\int (\mathrm {S} \omega '+\mathrm {S} '\omega )dx\right)\\&\qquad =\left[\int (\mathrm {S} \omega _{_{'}}+\mathrm {S} _{_{'}}\omega )dy\right]-\left(\int (\mathrm {S} \omega _{_{'}}+\mathrm {S} _{_{'}}\omega )dy\right).\qquad \end{aligned}}$(5)

C’est ce que nous vérifierons tout à l’heure. En attendant, observons que, dans cette équation, $\mathrm {S} \omega '+\mathrm {S} '\omega$ et $\mathrm {S} \omega _{_{'}}+\mathrm {S} _{_{'}}\omega$ sont les différences partielles de $\mathrm {S} \omega ,$ prises par rapport à chacune des variables $x$ et $y,$ avant d’avoir substitué dans ce produit la valeur de l’autre variable, tirée de l’équation de l’une ou de l’autre des deux limites de $\mathrm {U} \,;$ d’où il résulte que $(\mathrm {S} \omega '+\mathrm {S} '\omega )dx$ n’est pas une différentielle complète par rap-