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port à $x,$ ni $(\mathrm {S} \omega _{_{'}}+\mathrm {S} _{_{'}}\omega )dy,$ une différentielle complète par rapport à $y\,;$ ce qui empêche que les intégrations indiquées puissent s’effectuer immédiatement.

(21) Pour le maximum ou le minimum de $\mathrm {U}$ il faudra qu’on ait $\delta \mathrm {U} =0\,;$ l’intégrale double que la formule (4) renferme, étant irréductible à des intégrales simples, à cause que $\omega$ est une fonction arbitraire de $x$ et $y,$ il sera nécessaire que les deux termes de cette formule soient séparément nuls ; d’où l’on conclut

$\Gamma =0,\qquad \mathrm {H} =0,$

pour les équations communes au maximum et au minimum de l’intégrale double que nous considérons. La seconde fera connaître l’expression de $z$ en fonction de $x$ et $y\,;$ elle sera, en général, aux différences partielles de l’ordre $2n,$ si la fonction donnée $\mathrm {V}$ est de l’ordre $n.$ La première se décomposera en plusieurs autres, dont nous examinerons en détail, dans les numéros suivants, le nombre et la nature, selon les différents cas qui peuvent se présenter ; ce qui est le point le plus délicat de la question.

On étendra sans difficulté l’analyse précédente aux intégrales triples, quadruples, etc. : dans le cas d’une intégrale triple, par exemple, on trouvera pour sa variation, une expression analogue à la formule (4), qui se composera d’une intégrale triple, et d’une autre partie contenant seulement des intégrales doubles, relatives aux deux limites de l’intégrale triple dont on s’occupera. On pourrait aussi supposer que la quantité contenue sous les signes d’intégrations, renferme plusieurs fonctions inconnues des variables indépendantes, et que ces fonctions fussent indépendantes ou