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cette surface, comprise entre deux courbes fermées qui seront données ou qu’il s’agira de déterminer. Soient $\mathrm {ABC}$ ^[1] la projection de la courbe extérieure sur le plan des $x$ et $y,$ et $\mathrm {DEF}$ celle de la courbe intérieure sur le même plan. L’intégrale relative à $x$ et $y$ que $\delta \mathrm {U}$ représente, s’étendra à tous les éléments $dx\,dy$ de la surface plane interceptée entre ces deux courbes ; mais on peut aussi la considérer comme exprimant une intégrale double étendue à tous les éléments de l’aire circonscrite par la courbe fermée $\mathrm {ABC} ,$ moins la même intégrale étendue à tous les éléments de l’aire terminée par la courbe fermée $\mathrm {DEF} \,;$ et à cause que $\delta \mathrm {U}$ se réduit à $\Gamma$ en vertu de l’équation $\mathrm {H} =0,$ on aura alors

\Gamma =\Gamma ^{(1)}-\Gamma ^{(0)},

en appelant $\Gamma ^{(1)}$ la partie de $\delta \mathrm {U}$ provenant de l’aire terminée par $\mathrm {ABC}$ et $\Gamma ^{(0)}$ celle qui provient de l’aire circonscrite par $\mathrm {DEF} .$ Ces deux limites $\mathrm {ABC}$ et $\mathrm {DEF}$ étant, en général, indépendantes l’une de l’autre, l’équation $\Gamma =0$ se décomposera en deux autres, savoir,

\Gamma ^{(1)}=0,\qquad \Gamma ^{(0)}=0.

Il nous suffira de considérer la première : la seconde sera de la même forme et susceptible des mêmes transformations.

↑ Le lecteur est prié de tracer lui-même la figure : elle se compose de deux courbes fermées, dont l’une est comprise dans l’autre ; d’une droite $\mathrm {PM} 'M,$ parallèle à l’axe des ordonnées, qui coupe celui des abscisses au point $\mathrm {P,}$ et la courbe extérieure $\mathrm {ABC} ,$ aux points $\mathrm {M'}$ et $\mathrm {M} \,;$ et d’une droite $\mathrm {MN} ,$ menée en dehors de $\mathrm {ABC}$ et normale en $\mathrm {M}$ à cette courbe. On placera les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ aux limites de $\mathrm {ABC}$ dans le sens des abscisses, où les tangentes sont parallèles à l’axe des ordonnées.

[1] Le lecteur est prié de tracer lui-même la figure : elle se compose de deux courbes fermées, dont l’une est comprise dans l’autre ; d’une droite $\mathrm {PM} 'M,$ parallèle à l’axe des ordonnées, qui coupe celui des abscisses au point $\mathrm {P,}$ et la courbe extérieure $\mathrm {ABC} ,$ aux points $\mathrm {M'}$ et $\mathrm {M} \,;$ et d’une droite $\mathrm {MN} ,$ menée en dehors de $\mathrm {ABC}$ et normale en $\mathrm {M}$ à cette courbe. On placera les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ aux limites de $\mathrm {ABC}$ dans le sens des abscisses, où les tangentes sont parallèles à l’axe des ordonnées.

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