contenues dans l’intégrale générale de l’équation ne restent pas indéterminées, et que ces problèmes puissent</math> être complètement résolus. Cette circonstance peut se présenter, par exemple, dans la question où il s’agit de trouver une surface dont l’aire soit un minimum entre certaines limites. L’équation est alors aux différences partielles du second ordre, et son intégrale, contenant deux fonctions arbitraires, est connue sous forme finie. Or, si l’aire minima doit être une zone comprise entre deux courbes données, on conçoit que ces deux courbes par lesquelles devra passer la surface demandée, puissent servir à déterminer les deux fonctions arbitraires renfermées dans son équation, c’est-à-dire, dans l’intégrale de l’équation sauf la difficulté du calcul provenant de la complication de cette intégrale. On conçoit aussi que ces deux courbes puissent être remplacées par d’autres conditions qui soient toujours au nombre de deux. Mais si l’on demande que l’aire minima soit toute la portion de surface circonscrite par la courbe extérieure, il semble alors que l’intégrale de aura plus de généralité que la question, et que la courbe donnée ne suffira pas pour la détermination de ses deux fonctions arbitraires.
Pour faire disparaître cette indétermination apparente, supposons que l’on remplace les coordonnées rectangulaires et par les coordonnées polaires et étant le rayon vecteur et l’angle qu’il fait avec une droite fixe, menée par son origine dans le plan des et Plaçons cette origine dans l’espace terminé par la projection (no 22) de la courbe intérieure, si elle existe ; soient
