Donc, dans tous les triangles construits en prenant le côtés à volonté, et faisant l’angle égal à l’angle le troisième angle doit être égal à l’angle C’est ce qu’exprime l’équation à laquelle nous sommes parvenu par des considérations analytiques très-simples. D’après ce résultat, les quatre angles du quadrilatère font une somme égale à quatre angles droits ; et si l’on divise ce quadrilatère en deux triangles par une diagonale, chacun de ces triangles devra avoir la somme de ses angles égale à deux angles droits. Donc, en vertu de la proposition B, la somme des angles de tout triangle est égale à deux angles droits. On parvient ainsi à la même conclusion, qui a été déduite ci-dessus de l’équation par d’autres considérations synthétiques.
Nous sommes donc parvenu à traduire en langage vulgaire la partie analytique de notre démonstration qui conduit à l’équation mais il nous a fallu pour cela user de beaucoup de détours et emprunter le secours des propositions A et B. Nous avons réellement obtenu par ces moyens réunis une démonstration entièrement rigoureuse du théorème sur la somme des trois angles du triangle ; mais cette démonstration est évidemment trop compliquée pour être insérée dans les Éléments.
Nous allons maintenant passer en revue plusieurs autres démonstrations prises parmi celles que nous regardons comme les plus simples et les plus exactes, afin qu’on puisse, après l’examen qui en sera fait, choisir celle qui mérite d’être admise de préférence dans les livres d’Éléments.
