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Démonstration du théorème sur la somme des angles du triangle, fondée sur les mêmes principes que celle qui a été publiée en l’an viii, dans la 2^e édition des Éléments de Géométrie.

10. Soit $\mathrm {ABC}$ le triangle proposé^[1] ; au point $\mathrm {C}$ faites l’angle Fig. 2. $\mathrm {BCD}$ égal à $\mathrm {ABC} ,$ prenez $\mathrm {CD=AB} ,$ et joignez $\mathrm {BD} ,$ vous aurez le triangle $\mathrm {BCD}$ égal au triangle $\mathrm {ABC} ,$ puisqu’ils ont par construction un angle égal compris entre côtés égaux, chacun à chacun. Donc le côté $\mathrm {BD=AC}$ et l’angle $\mathrm {CDB=BAC} .$ Au point $\mathrm {D} ,$ faites semblablement l’angle $\mathrm {CDE=ABC} ,$ le côté $\mathrm {DE=BC} ,$ et joignez $\mathrm {CE} \,;$ vous aurez un nouveau triangle $\mathrm {CDE}$ égal au triangle $\mathrm {ABC} .$ Continuez ainsi à construire les triangles $\mathrm {DEF,EFG,FGH} ,$ etc., égaux au triangle proposé $\mathrm {ABC} ,$ avec la condition que tous les côtés égaux $\mathrm {AC,\,BD,\,CE,\,DF} ,$ etc., soient situés alternativement de part et d’autre de la chaîne indéfinie $\mathrm {ABPQ} .$ Cela posé, la question est de savoir de quelle nature seront les deux contours $\mathrm {ACEGILNP} \ldots ,$ $\mathrm {BDFHEMOQ} \ldots ,$ qui terminent la chaîne de part et d’autre, c’est-à-dire s’ils seront des lignes droites ou des lignes anguleuses.

Remarquons d’abord que les trois angles $\mathrm {ACB,\,BCD,\,DCE} ,$ qui se réunissent au point $\mathrm {C} ,$ sont égaux aux trois angles du triangle proposé $\mathrm {ABC} \,;$ il en est de même des trois

1. La construction que l’on donne ici est différente de celle qui a été employée ci-dessus pour la démonstration de la proposition A, mais la même figure est le résultat de l’une et de l’autre. C’est la nature des choses qui le veut ainsi, puisqu’il est démontré impossible que les deux contours extérieurs de la chaîne ne soient pas des lignes droites.