angles qui se réunissent successivement aux points etc. Supposons donc 1o que la somme des angles du triangle soit plus petite que deux angles droits, alors l’angle formé par les côtés ainsi que tous les autres angles etc., pris alternativement dans le contour supérieur de la chaîne et dans son contour inférieur, seront égaux à la somme des angles du triangle et seront par conséquent tous moindres que deux angles droits.
Il en résulte que les deux contours qui terminent de part et d’autre la chaîne des triangles dans notre hypothèse, ne seraient point des lignes droites, mais que, s’ils étaient considérés indépendamment des triangles qui les lient entre eux, ils présenteraient le même aspect que Fig. 2a. deux arcs de cercle décrits de rayons égaux, qui auraient leurs convexités tournées de deux côtés opposés. Ces arcs se rencontreraient nécessairement, et termineraient la chaîne dans leurs deux intersections, ce qui ne peut s’accorder avec la figure réelle de cette chaîne qui doit évidemment s’étendre à l’infini ; ainsi notre construction a rendu manifeste, autant qu’il est possible, l’absurdité de la supposition sur laquelle elle est appuyée. Il faut donc en tirer la conséquence que la somme des angles du triangle ne peut être moindre que deux angles droits.
Supposons 2o que la somme de ces angles est plus grande que deux angles droits. Alors les trois angles réunis autour du point étant égaux aux trois angles du triangle ce qui restera de ces trois angles en les retranchant de quatre angles droits, sera un angle intérieur ou rentrant, plus petit que deux angles droits ; il en sera de mème des angles
