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jusqu’à $x=x+\Delta x,\,y=y+\Delta y,\,z=z+\Delta z\,;$ et l’on intégrerait aussi, par rapport au temps $t,$ depuis $t=t$ jusqu’à $t=t+\Delta t.$ Le résultat de cette intégration serait la quantité de chaleur acquise par l’espace prismatique ; et il serait précisément égal au résultat que l’on aurait trouvé précédemment, en ayant égard aux quantités de chaleur qui pénètrent chaque face, soit pour entrer, soit pour sortir.

On voit par là que si les quantités $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma ,\,\theta$ étaient trouvées en fonction de $x,\,y,\,z,\,t,$ ces fonctions satisferaient à la condition que l’on vient d’énoncer. Il faut donc exprimer cette identité des deux résultats, et l’on formera ainsi une équation qui doit subsister entre les fonctions inconnues.

La quantité de chaleur qui, pendant le temps \Delta t, pénètre dans le prisme à travers une première face perpendiculaire à l’axe des $x,$ est

$\int _{t}^{t+\Delta t}dt\int _{y}^{y+\Delta y}dy\int _{z}^{z+\Delta z}dz\left(-\mathrm {K} {\frac {d\theta }{dx}}+\mathrm {C} .\alpha \,\theta \right).$

On doit écrire après les intégrations $x+\Delta x$ à la place de $x,$ et retrancher le second résultat du premier, puisque l’on a vu que le premier résultat mesure la chaleur entrée par l’une des faces, et le second la chaleur sortie par la face opposée. En désignant, pour abréger, par $\mathrm {P}$ la fonction placée sous les signes d’intégration, on aura donc

$-\int _{t}^{t+\Delta t}dt\int _{y}^{y+\Delta y}dy\int _{z}^{z+\Delta z}dz.\Delta \mathrm {P}$

pour exprimer la quantité de chaleur acquise par le prisme en vertu du transport dans le sens des $x.$ Maintenant on