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doit remarquer que l’on peut écrire $\int dt\int dx\int dy\int dz\Delta {\frac {d\mathrm {P} }{dx}}$ au lieu de $\int dt\int dx\int dy\int dz.\Delta \mathrm {P} \,;$ et surtout que si l’on prend l’intégrale par rapport à $x$ entre les limites $x$ et $x+\Delta x,$ on effectue par cela même la différentiation finie indiquée par le signe $\Delta .$ En effet, soit $\varphi x$ une fonction quelconque de $x$ : on écrira au lieu de $\varphi x,$ $\int dx.{\frac {d\varphi x}{dx}}$ ou $\int dx.\varphi 'x,$ et si l’on prend cette intégrale depuis $x=x$ jusqu’à $x=x+\Delta x,$ on a $\varphi (x+\Delta x)-\varphi x,$ c’est-à-dire $\Delta .\varphi x.$ Il suit de là que la quantité...............

$-\int _{t}^{t+\Delta t}dt\int _{y}^{y+\Delta y}dy\int _{z}^{z+\Delta z}dz.\Delta \mathrm {P} ,$ ou l’expression de la chaleur acquise par la communication et le mouvement dans le sens des $x,$ peut être mise sous cette forme

$-\int _{t}^{t+\Delta t}dt\int _{x}^{x+\Delta x}dx\int _{y}^{y+\Delta y}dy\int _{z}^{z+\Delta z}dz.{\frac {d\mathrm {P} }{dx}},$

ou

$\int dt\int dx\int dy\int dz\left[{\frac {d}{dx}}\left(\mathrm {K} {\frac {d\theta }{dx}}\right)-\mathrm {C} {\frac {d.\alpha \,\theta }{dx}}\right].$

On aura un résultat semblable si l’on calcule la différence de la chaleur entrée par une face perpendiculaire à l’axe des $y$ à la chaleur sortie par la face opposée. Ce résultat est

$\int dt\int dx\int dy\int dz\left[{\frac {d}{dy}}\left(\mathrm {K} {\frac {d\theta }{dy}}\right)-\mathrm {C} {\frac {d.\beta \,\theta }{dy}}\right].$

L’expression qui se rapporte au plan perpendiculaire à l’axe des $z$ est

$\int dt\int dx\int dy\int dz\left[{\frac {d}{dz}}\left(\mathrm {K} {\frac {d\theta }{dz}}\right)-\mathrm {C} {\frac {d.\gamma \,\theta }{dz}}\right].$

On omet d’écrire les limites des intégrales, qui sont les