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car les températures étant comprises dans des limites assez peu éloignées, les accroissement de densité, à partir d’un certain terme, demeurent sensiblement proportionnels aux accroissements de température. On pourrait aussi ne point regarder ce rapport comme constant, et avoir égard à ces variations. Il suffirait de modifier l’expression précédente de la relation entre $\varepsilon$ et $\theta .$ Le coefficient $h$ exprime, comme on le voit, la dilatabilité de la masse fluide : on le suppose connu par les observations.

On pourra substituer la valeur précédente de $\varepsilon$ dans les équations (1) et (2), et ajouter à ces équations celle que nous avons démontrée. Les cinq équations contiendront, comme grandeurs inconnues, les vitesses orthogonales $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ la pression $p$ et la température $\theta .$ L’équation (2) deviendra

$h{\frac {d\theta }{dt}}+\left({\frac {d\alpha }{dx}}+{\frac {d\beta }{dy}}+{\frac {d\gamma }{dz}}\right)+h\left({\frac {d.\alpha \,\theta }{dx}}+{\frac {d.\beta \,\theta }{dy}}+{\frac {d.\gamma \,\theta }{dz}}\right)=0.$

Il nous paraît préférable de conserver les équations (1) et (2), qui se rapportent au mouvement du fluide et contiennent la densité $\varepsilon ,$ en y ajoutant la cinquième équation (3) qui détermine les variations des températures. Il suffira de remarquer qu’il existe entre $\varepsilon$ et $\theta$ une relation donnée par l’expérience, et que l’on peut en général représenter comme il suit : $\varepsilon =e\left[1+h(\theta -b)\right].$

Les mouvements et les températures variables des diverses parties d’un fluide incompressible sont donc exprimés par les équations (1), (2) et (3). La dernière est celle qui exprime les températures elle montre que le changement instantané que ces températures subissent résulte de deux causes. L’une correspond à la première partie du second