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$u=-\infty ,$ quel que soit $\upsilon ,$ alors, en prenant $u'=-\infty ,$ $u''=\mathrm {U} ,$ on réduit la formule (23) à

(24)

${\frac {\operatorname {f} (x_{0})}{\operatorname {F} '(x_{0})}}+{\frac {\operatorname {f} (x_{1})}{\operatorname {F} '(x_{1})}}+\ldots +{\frac {\operatorname {f} (x_{m-1})}{\operatorname {F} '(x_{m-1})}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatorname {f} (\mathrm {U} +\upsilon i)}{\operatorname {F} '(\mathrm {U} +\upsilon i)}}d\upsilon .$

Le premier membre de celle-ci renfermera toutes les racines de $\operatorname {F} (x)=0,$ si $\mathrm {U}$ surpasse les parties réelles de toutes ces racines, et à plus forte raison si $\mathrm {U}$ surpasse leurs modules.

Lorsque la fonction $\operatorname {f} (u+\upsilon i)$ s’évanouit, non-seulement pour $\upsilon =\pm \infty ,$ quel que soit $u,$ mais encore pour $u=\infty ,$ quel que soit $\upsilon ,$ alors, en prenant $u'=-\mathrm {U} ,$ $u''=\infty ,$ on trouve

(25)

${\frac {\operatorname {f} (x_{0})}{\operatorname {F} '(x_{0})}}+{\frac {\operatorname {f} (x_{1})}{\operatorname {F} '(x_{1})}}+\ldots +{\frac {\operatorname {f} (x_{m-1})}{\operatorname {F} '(x_{m-1})}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\operatorname {f} (-\mathrm {U} +\upsilon i)}{\operatorname {F} '(-\mathrm {U} +\upsilon i)}}d\upsilon .$

Le premier membre de l’équation (25) renfermera toutes les racines de $\operatorname {F} (x)=0,$ si $-\mathrm {U}$ est inférieur aux parties réelles de toutes les racines, ce qui aura nécessairement lieu si $\mathrm {U}$ surpasse tous les modules.

§ 3. Analogies des puissances et des différences.

Supposons que les caractéristiques

$\alpha ={\frac {d}{dx}},\qquad \beta ={\frac {d}{dy}},\qquad \gamma ={\frac {d}{dz}}\ldots$

placées devant les fonctions

$f(x),\qquad f(x,y,z\ldots ),$

indiquent les dérivées de ces fonctions par rapport à $x,y,z\ldots$ et que les puissances des mêmes caractéristiques indiquent les dérivées des divers ordres, en sorte qu'on ait