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${\begin{aligned}\alpha f(x)=&{\frac {df(x)}{dx}}=f'(x),\\\alpha ^{2}f(x)=&{\frac {d^{2}f(x)}{dx^{2}}}=f''(x),\\{\text{etc}}.\qquad &\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&\alpha ^{n}f(x)={\frac {d^{n}f(x)}{dx^{n}}}=f^{(n)}(x),\\&\alpha \beta f(x,y)={\frac {d^{2}f(x,y)}{dx,dy}},\\&{\text{etc}}\ldots \end{aligned}}$

Si l’on désigne par

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )$

une fonction entière de $\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ,$ la notation

(1)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )f(x,y,z\ldots )$

représentera une fonction linéaire de $f(x,y,z\ldots )$ et de ses dérivées des divers ordres. De plus, on aura évidemment, en vertu du théorème de Taylor,

(2)

${\begin{aligned}e^{h\alpha }f(x)=&f(x+h)=f(x+\Delta x)\\=&f(x)+\Delta f(x)\\=&(1+\Delta )f(x),\end{aligned}}$

$h$ étant la différence finie de $x\,;$ et l’on trouvera par suite, en appelant $k=\Delta y,$ $l=\Delta z\ldots$ les différences finies de $y,z\ldots$

(3)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad \operatorname {F} \left(e^{h\alpha },\,e^{h\beta },\,e^{h\gamma }\ldots \right)f(x,\,y,\,z\ldots ).\\=&\operatorname {F} \left(1+\Delta _{x},1+\Delta _{y},1+\Delta _{z}\ldots \right)f(x,\,y,\,z\ldots ).\end{aligned}}\right.$

Ajoutons que l’on aura généralement

(4)

$(1+\Delta _{x})^{n}f(x)=f(x+nh).$

Remarquons à présent que si, dans l’expression (1), on substitue pour $f(x,y,z\ldots )$ sa valeur, tirée de la formule (3) du deuxième paragraphe, on trouvera