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ou

(6)

$\operatorname {tang} {\cfrac {at}{\varepsilon }}=-{\cfrac {\mathrm {Q} +{\cfrac {\mathrm {Q} '}{t}}+{\cfrac {\mathrm {Q} ''}{t^{2}}}+\ldots }{\mathrm {P} +{\cfrac {\mathrm {P} '}{t}}+{\cfrac {\mathrm {P} ''}{t^{2}}}+\ldots }},$

et que l’on satisfait à l’équation (6) par une infinité de valeurs infiniment petites de $\varepsilon$^[1]. Généralement on tirera de l’équation (4), en supposant que la lettre caractéristique $\Phi$ désigne une fonction entière,

(7)

$\int _{-\infty }^{\infty }\Phi (\Theta +\theta i)e^{(\Theta +\theta i)t}d\theta ={\frac {0}{0}}.$

Si l’on considérait l’intégrale (7) comme la limite de la suivante

(8)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\varepsilon {\sqrt {\theta ^{2}}}}\Phi (\Theta -\theta i)e^{(\Theta -\theta i)t}d\theta$

$=2\int _{0}^{\infty }e^{-\alpha \theta }{\frac {\Phi (\Theta +\theta i)e^{(\Theta +\theta i)t}+\Phi (\Theta -\theta i)e^{(\Theta -\theta i)t}}{2}}d\theta ,$

on trouverait une valeur nulle, au lieu d’une valeur indéterminée. Car on a généralement

(9)

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\varepsilon {\sqrt {\theta ^{2}}}}e^{(\Theta +\theta i)t}dt=&e^{\Theta t}{\frac {2\varepsilon }{\varepsilon ^{2}+t^{2}}}\\=&e^{\Theta t}\left({\frac {1}{\varepsilon \mathrm {i} -t}}+{\frac {1}{\varepsilon \mathrm {i} +t}}\right)\mathrm {i} \\=&e^{\Theta t}\mathrm {i} \left({\frac {1}{t+\varepsilon \mathrm {i} }}+{\frac {1}{t-\varepsilon \mathrm {i} }}\right),\end{aligned}}$

1. Nous avons supprimé ici une transformée des équations (5), (6), et dans les formules (3), (4), (5), (6), nous avons restitué à l’arc ${\frac {at}{\varepsilon }}$ le facteur $t$ omis par erreur dans le manuscrit.