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et par suite l’intégrale

(10)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\varepsilon {\sqrt {\theta ^{2}}}}\left(\Theta +\theta \mathrm {i} \right)^{n}e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta$

${\begin{aligned}&=\mathrm {i} {\frac {d^{n}\left[e^{\Theta t}\left({\cfrac {1}{t+\varepsilon \mathrm {i} }}-{\cfrac {1}{t-\varepsilon \mathrm {i} }}\right)\right]}{dt^{n}}}\\&=\mathrm {i} .e^{\Theta t}\left\{{\begin{aligned}&\Theta ^{n}\left({\frac {1}{t+\varepsilon \mathrm {i} }}-{\frac {1}{t-\varepsilon \mathrm {i} }}\right)-n\Theta ^{n-1}\left[\left({\frac {1}{t+\varepsilon \mathrm {i} }}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t-\varepsilon \mathrm {i} }}\right)^{2}\right]\\&+n(n-2)\Theta ^{n-2}\left[\left({\frac {1}{t+\varepsilon \mathrm {i} }}\right)^{3}-\left({\frac {1}{t-\varepsilon \mathrm {i} }}\right)^{3}\right]-{\text{etc.}}\end{aligned}}\right\}\\\end{aligned}}$

sera composée de termes qui s’évanouiront tous pour $\varepsilon =0.$

On obtiendrait encore une valeur nulle pour l’intégrale (7), si on la considérait comme limite de l’une des suivantes

(11)

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\varepsilon \theta ^{2}}\Phi (\Theta +\theta \mathrm {i} )e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta ,$

ou

(12)

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\Phi (\Theta +\theta \mathrm {i} )e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta }{1+\varepsilon ^{2}\theta ^{2}}}.$

Enfin, si l’on désigne par $\varphi (\theta )$ une fonction entière de $\theta ,$ l’intégrale

(13)

$\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (\theta ).e^{t\theta \mathrm {i} }d\theta ,$

considérée comme limite de l’une des suivantes

(14)

$\left\{{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\varepsilon {\sqrt {\theta ^{2}}}}\varphi (\theta )e^{\theta t\mathrm {i} }d\theta ,&\qquad \int _{-\infty }^{\infty }e^{-\varepsilon \theta ^{2}}\varphi (\theta )e^{\theta t\mathrm {i} }d\theta ,\\\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (\theta ).e^{\theta t\mathrm {i} }&{\frac {d\theta }{1+\varepsilon ^{2}\theta ^{2}}}d\theta ,\end{aligned}}\right.$

aura toujours une valeur nulle, et par suite il en sera de même de

(15)

$\left\{{\begin{aligned}&e^{\Theta t}\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (\theta )e^{t\theta \mathrm {i} }d\theta ,\\&=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (\theta )e^{(\Theta +\theta \mathrm {i} )t}d\theta .\end{aligned}}\right.$