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on ferait dépendre l’intégration de l’équation

(39)

$\operatorname {F} (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z}\ldots ).u=f(x,y,z\ldots ),$

de celle d’une suite d’équations de la forme

(40)

$\left\{{\begin{aligned}&\varphi (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z}\ldots )\upsilon \,=f(x,y,z\ldots ),\\&\chi (\operatorname {D} _{x},\operatorname {D} _{y},\operatorname {D} _{z}\ldots )\mathrm {w} =\upsilon ,\\&{\text{etc}}\ldots .\end{aligned}}\right.$

Lorsque $\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )$ désigne, non plus une fonction entière, mais une fonction quelconque de $\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ,$ on peut toujours satisfaire à l’équation linéaire

(41)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )u=f(x,y,z\ldots ),$

en posant

(42)

$u={\frac {f(x,y,z\ldots )}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )}}.$

Mais ce n’est là qu'une valeur particulière de $u.$ Pour obtenir la valeur générale de $u,$ il faut ajouter, au second membre de l’équation (42), l’intégrale générale de

(43)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )u=0.$

Or, soit

(44)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )=\varphi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\chi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots ),$

et posons

(45)

$\chi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )u=\upsilon \,:$

on aura, en vertu des principes établis à la fin du paragraphe 3^e,

(46)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )u=\varphi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )\upsilon ,$

et, par suite, on satisfera à l’équation (43), non-seulement en posant $u=0,$ mais encore en posant $\upsilon =0$ ou

(47)

$\chi (\alpha ,\beta ,\gamma \ldots )u=0.$