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sonnant de même pour les suivantes, puis, réunissant les diverses valeurs de $u,$ on retrouvera

(52)

$u=e^{t\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots )}\psi _{0}(x,y\ldots )+\ldots +e^{t\varphi _{m-1}(\alpha ,\beta \ldots )}\psi _{m-1}(x,y\ldots ),$

c’est-à-dire, la formule (14). Du reste, il paraît difficile de démontrer en toute rigueur que la valeur de $u,$ donnée par l’équation (52), est l’intégrale générale de la formule (43).

Revenons maintenant aux équations (19), et faisons, pour abréger

(53)

$\left\{{\begin{aligned}&f_{0}(x,y,z\ldots )-{\frac {\operatorname {F} _{0}(\alpha ,\beta \ldots \theta )}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots \theta )}}f(x,y,z\ldots t_{0})=\operatorname {f} _{0}(x,y,z\ldots ),\\&f_{1}(x,y,z\ldots )-{\frac {\operatorname {F} _{1}(\alpha ,\beta \ldots \theta )}{\operatorname {F} (\alpha ,\beta \ldots \theta )}}f(x,y,z\ldots t_{1})=\operatorname {f} _{1}(x,y,z\ldots ),\\&{\text{etc}}\ldots \end{aligned}}\right.$

puis, écrivons simplement $\varphi _{0},\varphi _{1}\ldots ,$ au lieu de $\varphi _{0}(\alpha ,\beta \ldots ),$ $\varphi _{1}(\alpha ,\beta \ldots ),$ etc… ; les équations (19) deviendront

(54)

$\left\{{\begin{aligned}e^{t_{0}\varphi _{0}}\operatorname {F} _{0}(\alpha ,\beta \ldots \varphi _{0})&.\psi _{0}(x,y\ldots )\\&+\ldots +e^{t_{0}\varphi _{m-1}}\operatorname {F} _{0}(\alpha ,\beta \ldots \varphi _{m-1}).\psi _{m-1}(x,y\ldots )\\&=\operatorname {f} _{0}(x,y\ldots ),\\e^{t_{1}\varphi _{0}}\operatorname {F} _{1}(\alpha ,\beta \ldots \varphi _{0})&.\psi _{0}(x,y\ldots )\\&+\ldots +e^{t_{1}\varphi _{m-1}}\operatorname {F} _{1}(\alpha ,\beta \ldots \varphi _{m-1}).\psi _{m-1}(x,y\ldots )\\&=\operatorname {f} _{1}(x,y\ldots ),\\{\text{etc}}\ldots .\qquad \qquad \quad &\end{aligned}}\right.$

Pour obtenir les valeurs générales de

$\psi _{0}(x,y\ldots ),\qquad \psi _{1}(x,y\ldots ),\ldots \qquad \psi _{m-1}(x,y\ldots ),$

propres à vérifier ces dernières, il suffit de calculer leurs valeurs particulières, en opérant comme si, dans les équations (54), toutes les lettres représentaient des quantités véritables, puis de joindre à ces valeurs particulières les valeurs générales propres à résoudre les équations