Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/257

$f_{0}(x+2a)=-f_{0}(-x)=f_{0}(x).$

Donc, par suite

${\begin{aligned}f_{0}(x)&=f_{0}(x+2a)=f_{0}(x+4a)={\text{etc}}\ldots \\&=f_{0}(x-2a)=f_{0}(x-4a)={\text{etc}}\ldots ,\end{aligned}}$

et de plus

${\begin{aligned}f_{0}(x+a)&=f_{0}(x+3a)=f_{0}(x+5a)={\text{etc}}\ldots \\=f_{0}(x-a)&=f_{0}(x-3a)=f_{0}(x-5a)={\text{etc}}\ldots .\end{aligned}}$

Cela posé, soit $\operatorname {f} (x)$ la valeur donnée de $f_{0}(x)$ entre les limites $x=0,$ $x=a.$ On aura, en vertu des équations qui précèdent,

(13)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}f_{0}(x)=&\quad \ \mathrm {f} (x)&{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&0\\x=&a\ \ \end{aligned}}\right\},\\f_{0}(x)=&-\mathrm {f} (2a-x)&{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&a\\x=&2a\end{aligned}}\right\},\\f_{0}(x)=&\quad \ \mathrm {f} (x-2a)&{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&2a\\x=&3a\end{aligned}}\right\},\\f_{0}(x)=&-\mathrm {f} (4a-x)&{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&3a\\x=&4a\end{aligned}}\right\},\\f_{0}(x)=&\quad \ \mathrm {f} (x-4a)\quad &{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&4a\\x=&5a\end{aligned}}\right\},\\{\text{etc}}\ldots &\end{alignedat}}\right.$

On trouvera au contraire

(14)

$\left\{{\begin{alignedat}{2}f_{0}(x)=&-\mathrm {f} (-x)&{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&0\\x=&-a\ \ \end{aligned}}\right\},\\f_{0}(x)=&\quad \ \mathrm {f} (x+2a)&{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&-a\\x=&-2a\end{aligned}}\right\},\\f_{0}(x)=&-\mathrm {f} (-2a-x)&{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&-2a\\x=&-3a\end{aligned}}\right\},\\f_{0}(x)=&\quad \ \mathrm {f} (x+4a)&{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&-3a\\x=&-4a\end{aligned}}\right\},\\f_{0}(x)=&-\mathrm {f} (-4a-x)\quad &{\text{entre les limites }}&\left\{{\begin{aligned}x=&-4a\\x=&-5a\end{aligned}}\right\},\\{\text{etc}}\ldots &\end{alignedat}}\right.$