Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 22.djvu/290

(28)

$\psi (\rho \mathrm {i} )-\psi (-\rho \mathrm {i} )=0,$

et la valeur de $\mathbf {Q}$ serait donnée par la formule

(29)

$\mathbf {Q} =\pm {\frac {\psi '(\rho \mathrm {i} )+\psi '(-\rho \mathrm {i} )}{\psi (\rho \mathrm {i} )}}.$

Appliquons maintenant les formules qui précèdent à des exemples particuliers.

Premier problème. La fonction

$f(x)$

étant assujettie à vérifier l’équation

(30)

$f(x+a)=f(x)\qquad {\text{ou}}\qquad e^{a\alpha }f(x)=f(x),$

et la valeur de cette fonction étant connue entre les limites

$x=0,\qquad x=a,$

on demande sa valeur générale.

Solution. Désignons par ${\mathfrak {f}}(x)$ une fonction qui obtienne la même valeur que $f(x)$ entre les limites $x=0,$ $x=a,$ et qui soit constamment nulle hors de ces limites. L'expression

$e^{na\alpha }{\mathfrak {f}}(x)={\mathfrak {f}}(x+na)$

($n$ étant un nombre entier quelconque) sera toujours nulle, excepté entre les limites $x=-na,$ $x=-na+a,$ et l’expression

$e^{-na\alpha }{\mathfrak {f}}(x)={\mathfrak {f}}(x-na)$

sera pareillement nulle, excepté entre les limites $x=na,$ $x=na+a.$ De plus, on aura généralement, en désignant par

$\varepsilon \qquad {\text{et}}\qquad \eta =1-\varepsilon$

deux nombres, l’un infiniment petit, l’autre infiniment rapproché de l’unité,