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(31)

$\left\{{\begin{aligned}f(x)&=\eta ^{n}e^{an\alpha }f(x),\\f(x)&=\eta ^{n}e^{-an\alpha }f(x),\end{aligned}}\right.$

et l’on en conclura évidemment

(32)

$f(x)=\left(\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{an\alpha }+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{-an\alpha }-1\right){\mathfrak {f}}(x).$

On a retranché l’unité des deux sommes $\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{an\alpha },$ $\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \eta ^{n}e^{-an\alpha },$ afin de ne pas trouver $2{\mathfrak {f}}(x)$ au lieu de ${\mathfrak {f}}(x)$ entre les limites $x=0,$ $x=a,$ correspondantes à $n=0.$ Pour déduire l’équation (82) de la formule (17) il suffit de remplacer $\varpi (x)$ par $f(x),$ $\operatorname {f} (x)$ par ${\mathfrak {f}}(x)$ et $\varphi (\alpha )$ par $e^{a\alpha }.$ Cela posé, on aura

$\varphi '(\alpha )=ae^{a\alpha }.$

L'équation (19) deviendra

(33)

$e^{a\rho \mathrm {i} }=1\qquad {\text{ou}}\qquad \cos a\rho =1,$

et la valeur de $\mathbf {Q}$ sera

(34)

$\mathbf {Q} =ae^{a\rho \mathrm {i} }=a.$

Par suite la formule (24) donnera

(35)

$\left\{{\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{a}}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum \int _{0}^{a}e^{\rho (x-\mu )\mathrm {i} }{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&={\frac {1}{a}}\sideset {}{_{-\infty }^{\infty }}\sum \int _{0}^{a}\cos \rho (x-\mu ){\mathfrak {f}}(\mu )d\mu \\&={\frac {2}{a}}\int _{0}^{a}\left[{\frac {1}{2}}+\sideset {}{_{0}^{\infty }}\sum \cos {\frac {2n\pi }{a}}(x-\mu )\right]{\mathfrak {f}}(\mu )d\mu .\end{aligned}}\right.$

Second problème. Supposons qu'il s’agisse de résoudre l’équation

(36)

${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}-m^{2}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=0,\qquad {\text{ou}}\qquad \left(\alpha ^{2}-m^{2}\theta ^{2}\right)z=0,$

de manière que l’on ait