![{\displaystyle -\ \ 2\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f735132b61ef010635ee14bde87080de73422704)
avec
![{\displaystyle -\ \ 3,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df9453efe882efb9d324fce0fb93c7e10f9708ad)
dont le produit fait
![{\displaystyle +6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a521a3370773221095265505ba7ee70f199a972)
![{\displaystyle -12\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959a694d649c4da933462a9590a6ebe9959da250)
avec
![{\displaystyle +21,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd059f9907846596162f02d7946acde413bcefb)
dont le produit fait
![{\displaystyle +6,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a521a3370773221095265505ba7ee70f199a972)
![{\displaystyle +14\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33aadfcf41db3aba350e3b58322c5c7f1e545d20)
avec
![{\displaystyle -18,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad654223d75e2af9a02cdda2d84573a1e4c996c9)
dont le produit fait
![{\displaystyle +6\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383ac7f831e927f3d2fc24c247aa4187fbebde7a)
et l’on aura :
![{\displaystyle x={\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}(-\ \ 2)+{\frac {1}{3}}(-\;3),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f09d766a4b53981aa6135e30e97db8f84399f59)
d’où
![{\displaystyle x=-\ \ 8,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1aed8c2554052e9644120697d2d5774defaf0ff1)
![{\displaystyle x={\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}(-12)+{\frac {1}{3}}(-\;3),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cfd1407476582d3ce0151a37aa4c760489f8f27)
d’où
![{\displaystyle x=+11,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/84cfc95b22faafee74ec7c3069f50f31e8d33de3)
![{\displaystyle x={\frac {5}{6}}+{\frac {1}{3}}(+14)+{\frac {1}{3}}(-18),\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4aac787eeff0862382e40532867654f19ab219f)
d’où
![{\displaystyle x=+21,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cb083ae4ed4999b7604d5549f73751ee3271ed2)
De cette manière, on aura effectivement trois des racines septièmes de l’unité, relativement au nombre premier
et toute autre combinaison nous donnerait de fausses valeurs pour ces racines.
Actuellement, employons dans la formule la seconde valeur du radical quarré
c’est-à-dire
et nous aurons :
![{\displaystyle x={\frac {-7}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{(7+3+12)}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{(7+3-12)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b9623605cd9c520bc40b627d30306ed84c8df6)
ou bien
![{\displaystyle x={\frac {-7}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{22}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{-2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04be377e2cae494ac9421469fbe4b69872772b01)
Or, on trouve, pour les trois valeurs du premier radical cube
les nombres
et, pour celles du second,
les nombres
mais ici l’on doit combiner deux à deux ces valeurs, de manière que leur produit soit égal à
ainsi il faudra prendre :