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$-\ \ 4\quad$ avec $-20,\quad$ dont le produit fait $-6,$

$-15\quad$ avec $+\ \ 9,\quad$ dont le produit fait $-6,$

$+19\quad$ avec $+11,\quad$ dont le produit fait $-6\,;$

et l’on aura :

$x={\frac {-7}{6}}+{\frac {1}{3}}(-\ \ 4)+{\frac {1}{3}}(-20),\quad$d’où $x=-\ \ 2,$

$x={\frac {-7}{6}}+{\frac {1}{3}}(-15)+{\frac {1}{3}}(+\ \ 9),\quad$d’où $x=+\ \ 4,$

$x={\frac {-7}{6}}+{\frac {1}{3}}(+19)+{\frac {1}{3}}(-11),\quad$d’où $x=+16\,;$

ce qui nous donne les trois autres racines de la proposée.

Ainsi $8,\,+11,\,+21,\,-2,\,+4,\,+16,$ sont, avec T’unité, les sept nombres entiers inférieurs à $43$ qui résolvent l’équation indéterminée $x^{7}-1=\mathrm {M} .43,$ ou, si l’on veut, les sept puissances sixièmes différentes des $42$ résidus différents $1,\,2,\,3,\,4,\,5,$ etc., jusques à $42;$ c’est ce qu’on pourra vérifier à posteriori, en formant les sixièmes puissances de ces $42$ résidus, ou en substituant dans l’équation même $x^{7}-1=\mathrm {M} .43.$

18. J’ai supposé plus haut, qu’on avait obtenu tout d’un coup les trois valeurs de chaque radical cubique ; mais il suffit d’avoir l’une quelconque d’entre elles pour obtenir les deux autres. Ainsi ${\sqrt[{3}]{-8}}$ nous donne immédiatement la valeur $-2\,;$ les deux autres seront donc $-2.\alpha ,\,-2.\beta ,$ $\alpha$ et $\beta$ étant les deux racines cubiques imaginaires de l’unité : or, ces racines sont exprimées par ${\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}},$ et cette formule ambiguë, évaluée en nombres relativement à $43,$ nous