donne les deux racines
et
On aurait donc, par cette voie,
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\quad {\text{ou}}\quad -2\times 6,\quad {\text{ou}}\quad -2\times -7,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a65971f8018e7ce2b9a371fed14c4ec7091e045)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2,\quad {\text{ou}}\quad -12,\quad {\text{ou}}\quad +14.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3b3b5bfe4c4548f3eaf694e9619af69db158e37)
comme ci-dessus.
De même,
donne
car
élevé au cube, donne
qui revient à
Les deux autres racines seront donc
ou
comme on l’a trouvé plus haut.
19. La formule
![{\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {-7}}}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(7\mp {\frac {\sqrt {-7}}{2}}+{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left(7\mp {\frac {\sqrt {-7}}{2}}-{\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8b86c657a56d82373e7a0fdafaacefa220c79bc)
que nous venons de considérer, et où l’on doit prendre en même temps les signes supérieurs ou les signes inférieurs de
ne contient que des radicaux cubes et des radicaux quarrés : or, le nombre premier
auquel nous l’avons rapportée, étant tel, que
est divisible, nonseulement par
mais encore par
il s’ensuit qu’on n’a dù trouver nulle part aucun signe d’opération inexécutable, c’est-à-dire, aucun radical qui ne portàt sur un résidu de puissance de même degré. Ainsi
qu’on voit sous le premier radical quarré, libre de tout autre signe, devait être un résidu de quarré relativement à
et il le sera même dans tous les cas de
divisible par
parce que
est toujours divisible par
Ensuite, l’expression
qui est sous le radical cubique, devait