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revenir à un résidu de cube exact relativement à $43.$ Mais la partie $7\mp {\frac {\sqrt {-7}}{2}}$ étant déja rationnelle, il s’ensuit que l’autre partie ${\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}$ devait l’être aussi ; et, par conséquent, le nombre $21,$ qui est sous le second radical quarré, devait être aussi un résidu de quarré. C’est en effet ce qu’on vient de vérifier dans l’exemple dont il s’agit, et c’est ce qui aura lieu dans tous les cas de $p-1$ divisible $p-1$ divisible par $7$ et par $3.$

20. Si le nombre premier $p$ est tel, que $p-1,$ toujours divisible par $7,$ ne le soit point par $3,$ le nombre $-7$ sera toujours un quarré, à cause de $p-1$ divisible par $2$ ; mais $7\mp {\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}$ ne pourra être un cube, et par conséquent $21$ ne pourra être un quarré relativement à $p.$ Il y aura donc des irrationnelles dans la formule ; et c’est ce qu’il faut actuellement développer.

21. Considérons, par exemple, le nombre premier $p=29,$ qui donne $p-1=28$ divisible par $7,$ mais non par $3;$ et rapportons-y la formule précédente, afin d’obtenir les six nombres entiers, autres que l’unité, qui résolvent l’équation $x^{7}-1=\mathrm {M} .29.$

Nous trouvons d’abord ${\sqrt {-7}}=\pm 14\,;$ et si nous employons la première valeur $+14,$ la formule nous donnera :

$x={\frac {-1+14}{6}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left({\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\left({\frac {-3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}.$

Cette expression doit représenter actuellement une des valeurs de $x\,;$ car les deux radicaux cubes sont tels, que leur produit fait $+14.$ valeur adoptée pour ${\sqrt {-7}}.$

Or, $21$ n’est point un quarré par rapport à $29,$ et par