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Pareillement, la racine cube de $7+{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}$ aura trois valeurs differentes de la forme $a'\pm b'{\sqrt {-3}},$ en faisant :

$a'={\frac {2r^{3}-r^{6}-r^{5}}{2}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {2r^{6}-r^{5}-r^{3}}{2}}\quad {\text{ou}}\quad {\frac {2r^{5}-r^{3}-r^{6}}{2}}\,;$

$b'={\frac {r^{6}-r}{2}},\quad {\text{ou}}\quad {\frac {r^{5}-r^{3}}{2}},\quad {\text{ou}}\quad {\frac {r^{5}-r^{6}}{2}}\,;$

ce qui revient, comme on voit, à changer, dans les expressions précédentes, les trois racines $r,\,r^{2},\,r^{4}$ dans les trois autres racines conjuguées $r^{3},\,r^{6},\,r^{5}.$

27. Ainsi, nous avons trouvé que, relativement à $p=43,$ les six racines de ${\frac {x^{7}-1}{x-1}}=\mathrm {M} .43,$ sont :

$r,\ \ r^{2},\ \ r^{4};\qquad r^{3},\ \ r^{6},\ \ r^{5},$

$-2,\ \ 4,\ \ 16;\qquad -8,\ \ 21,\ \ 11:$

on aurait donc dans ce cas, pour le premier radical cube, la valeur

$a\pm b{\sqrt {-3}}={\frac {2r-r^{2}-r^{4}}{2}}\pm {\frac {r^{2}-r^{4}}{2}}.{\sqrt {-3}}\,;$

ce qui donnerait :

${\begin{aligned}{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&-21\pm 6{\sqrt {-3}},\\\alpha {\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&-\ \ 6\pm 9{\sqrt {-3}},\\\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\left(7-{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}}=&\quad \ 15\pm 3{\sqrt {-3}}.\end{aligned}}$

On trouverait de même les trois valeurs du radical cube

${\sqrt[{3}]{\left(7+{\frac {\sqrt {-7}}{2}}\pm {\frac {3}{2}}{\sqrt {21}}\right)}},$

en employant de la même manière les trois nombres $r^{3},\,r^{6},\,r^{7}.$