29. Ainsi l’on revoit, par l’analyse la plus claire, les différents théorèmes que nous avions déja reconnus sur cet exemple des racines septièmes de l’unité. Les irrationnelles ne viennent dans la formule que par les racines cubiques de sorte que, si ces racines répondent à des entiers relativement à la formule n’offre par-tout que des puissances exactes sous les radicaux qu’elle renferme. On peut donc dire que la quadruple expression
répond toujours à un résidu cubique entier relativement à tout nombre premier de la forme lorsque est divisible par et que, si n’est pas divisible par cette expression ne peut jamais être un résidu cubique. Et l’on peut trouver une foule de théorèmes semblables sur les résidus de degrés supérieurs, par la considération des racines supérieures de l’unité.
Les résidus quarrés sont les seuls dont la théorie soit connue des géomètres, et l’on n’a encore aucun théorème sur les résidus d’un ordre plus élevé. Il me semble que notre analyse ouvre un nouveau champ à ces découvertes.
30. Mais il n’est pas inutile de faire encore quelques renarques sur la formule identique
![{\displaystyle r={\frac {r+r^{2}+r^{4}}{3}}+{\frac {\sqrt[{3}]{\left(r+\alpha r^{2}+\alpha ^{2}r^{4}\right)^{3}}}{3}}+{\frac {\sqrt[{3}]{\left(r+\beta r^{2}+\beta ^{2}r^{4}\right)^{3}}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb519b75bbb7f98c27e61869ba86fb67e166e732)
que je représenterai, pour abréger, par
![{\displaystyle r={\frac {\mathrm {L} }{3}}+{\frac {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} }}{3}}+{\frac {\sqrt[{3}]{\mathrm {A} '}}{3}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6625d805d90179bf690870301273bf1a57104d19)
