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II. Soit $p=5.$ La racine primitive de $5$ est exprimée par la racine primitive de $x^{4}-1=0:$ ainsi, en rejetant le facteur $x^{2}-1,$ il vient $x^{2}+1=0,$ qui donne $x=\pm {\sqrt {-1}}$ pour l’expression ambiguë de la racine primitive de $x^{4}-1=0.$ Or, ${\sqrt {-1}}$ équivaut, comme résidu, à ${\sqrt {(-1+5)}},$ à ${\sqrt {4}}.$ à $\pm 2,$ ou, si l’on veut, en changeant $-2$ en $-2+5=3,$ ${\sqrt {-1}}$ équivaut à $2$ et à $3,$ qui sont effectivement les deux racines primitives de $5.$

III. Soit $p=7.$ Les racines primitives seront exprimées par les racines imaginaires primitives de $x^{6}-1=0.$ Rejetant donc le facteur binome $x^{3}-1,$ il vient $x^{3}+1=0,$ d’où, en écartant le facteur $x+1,$ on tire $x^{2}-x+1=0,$ qui renferme les deux racines cherchées. Cette équation résolue, donne $x={\frac {1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\,:$ or $-3$ équivaut à $+7-3,$ à $4,$ et $\pm {\sqrt {-3}},$ à $pm2\,;$ on a donc :

$x={\frac {3}{2}}\quad {\text{et}}\quad x={\frac {-1}{2}},$

et les fractions ${\frac {3}{2}}$ et ${\frac {-1}{2}}$ reviennent sur-le-champ à $5$ et $3$ relativement à $7.$ Ainsi $3$ et $5$ sont les deux racines primitives de $7.$

35. On peut encore s’y prendre d’une manière plus simple dans cet exemple et dans tous les autres. Si l’on considère une racine primitive de $x^{2}-1=0,$ et une racine primitive de $x^{3}-1=0,$ leur produit sera une racine primitive de