or l’équation
donne
pour sa racine primitive ;
donne
pour ses deux racines primitives ; on a donc, pour l’expression de la racine primitive de
le produit de
par
ce qui donne
comme ci-dessus.
IV. Soit
Il est clair que la racine primitive de
est exprimée généralement par
![{\displaystyle x={\frac {1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {\left(-10+2{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/035d298aedac4888356bead0b662c38965eada66)
Or,
d’où ![{\displaystyle 2{\sqrt {5}}=8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd9239d2fc796068dd7b4276fdaf930e9126f546)
Actuellement,
![{\displaystyle {\sqrt {\left(-10+2{\sqrt {5}}\right)}}={\sqrt {-2}}={\sqrt {(-2+11)}}={\sqrt {9}}=3\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c94ba0c8914e04f3ac57c322de5806f64aa12b7)
d’où
Ainsi
est une racine primitive de ![{\displaystyle 11.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9b5e5fac088741f78d27719ffc4774c9815c59)
On trouverait les trois autres par l’ambiguïté de
combinée avec celle du radical
Prenons ce dernier radical en moins, et nous aurons :
![{\displaystyle x={\frac {1+4-3}{4}}={\frac {1}{2}}={\frac {1+11}{2}}=6.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bf4052e9409d7ce71d348c5187bc92abacaa5d0)
Prenons le radical
en moins dans les deux formules, et l’on aura :
![{\displaystyle x={\frac {1-4\pm {\sqrt {-18}}}{4}}={\frac {-3\pm {\sqrt {4}}}{4}}={\frac {-3\pm 2}{4}}={\frac {-1}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4446da592459fd98b53ce6a165bccca430eecd74)
et
![{\displaystyle {\frac {-5}{4}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4a7652522bb8823207639005353173bc504ff57)
et ces deux fractions
et
relativement à
reviennent aux entiers
et ![{\displaystyle 8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a04e2caa5ccdd655247af5a2504f8f57c3b8b1a7)