dont les deux racines primitives sont
et vous aurez
pour les racines primitives de
Donc, en multipliant par
l’expression
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{\left({\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81fa0f97909b7da61915a23cff393ecb1dfbabb)
pour les racines primitives de
comme on l’a trouvé ci-dessus.
En développant ces valeurs, on a
![{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{\left({\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\right)}},\qquad x'=\alpha {\sqrt[{3}]{\left({\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b854e784c184262523aad0e4e9b4f8c06eb63a)
![{\displaystyle x''=\alpha ^{2}{\sqrt[{3}]{\left({\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c81fc9e7a1bfdb3050b3cc92bdff283d32e2a7c4)
et
étant les deux racines cubiques imaginaires de l’unité, c’est-à-dire, ![{\displaystyle {\frac {-1\pm {\sqrt {-3}}}{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7650217533ebc37d64720f747e6d151be20560aa)
Or,
relativement à
équivaut à
on trouvera donc :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}x=&{\sqrt[{3}]{-7}},\qquad &x'=&7{\sqrt[{3}]{-7}},\qquad &x''=&11{\sqrt[{3}]{-7}},\\x=&{\sqrt[{3}]{-11}},&x'=&7{\sqrt[{3}]{-11}},&x''=&11{\sqrt[{3}]{-11}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c32dcbe8ce0d4952a14bd1c82dfa9089f2b6d1c7)
or,
et ![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{-11}}={\sqrt[{3}]{8}}=2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd48a090e9313debbacc51e2e515999376b5b198)
Ainsi, en réduisant, on aura, pour les six racines primitives de
![{\displaystyle x=-4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8431bbc5ccea24d6596545276a84cca29b01d2d9)
et
![{\displaystyle 2,\qquad x'=-9}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad8d85cf09225ed40438d363b4e46947c2fa50a)
et
![{\displaystyle -5,\qquad x''=-6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e98bac2d35af2016ef9cdc5e5d98dc119131efe)
et
![{\displaystyle 3.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75e17f7e7094c457fa7c8f743c3d8622eebd8ef)
VIII. Considérons encore le nombre premier
et l’équation
![{\displaystyle x^{40}-1=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f548d5813c20cc1e8fc512883e7b3621d54e0eb0)