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Pour avoir les racines primitives imaginaires de cette équation, on peut d’abord écarter les racines qui appartiennent à l’équation $x^{20}-1=0,$ et l’on a l’équation $x^{20}+1=0\,;$ d’où, en rejetant les racines de $x^{4}+1=0,$ qui appartiennent au diviseur binome $x^{8}-1=0,$ il vient l’équation

$x^{16}-x^{12}+x^{8}-x^{4}+1=0,$

qui renferme les seize racines primitives de $x^{40}-1=0.$

En faisant $x^{4}=y,$ on a :

$y^{4}-y^{3}+y^{2}-y+1=0,$

équation périodique qui donne :

$y={\frac {1\pm {\sqrt {5}}\pm {\sqrt {\left(-10\pm 2{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}\,;$

d’où l’on tire, à cause de $x^{4}=y,$

$x={\sqrt[{4}]{\left[{\frac {1\pm {\sqrt {5}}\pm {\sqrt {\left(-10\pm 2{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}\right]}}.$

Le radical $4^{\mathrm {me} }$ se réduisant à deux radicaux quarrés, on voit que cette formule ne contient que des radicaux quarrés. Ainsi, en formant une table des quarrés des nombres $\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,$ jusqu’à $\pm 20,$ et de leurs moindres résidus à $41,$ on aura sous les yeux tous les éléments nécessaires pour effectuer sur-le-champ les opérations indiquées, et mettre en évidence les seize nombres entiers $x,$ qui sont les racines primitives de $41.$

Ainsi, l’on trouve d’abord que ${\sqrt {5}}$ vaut $\pm 13,$ et l’on a :

$y={\frac {1\pm 13\pm {\sqrt {(-10\pm 26)}}}{4}},$

d’où l’on tire :

$y=23$ et $25,\,31$ et $4;$