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Si $n$ est premier à $p-1,$ et par consequent si l’on a $d=1,$ l’équation $x^{n}-1=\mathrm {M} p$ n’a donc qu’une seule racine entière, qui est $x=1;$ et toutes les autres sont incommensurables. Mais il y a un cas singulier très-remarquable, où cette dernière conséquence n’a pas lieu ; c’est celui où le degré $n$ de la proposée est égal au nombre premier $p$ lui-même. L’équation devient alors $x^{p}-1=\mathrm {M} p\,;$ et je dis que cette équation a toutes ses racines rationnelles et égales à l’unité.

En effet, il est facile de voir que, si $p$ est un nombre premier supérieur à $2,$ on a, aux multiples près de $p,$ l’équation $x^{p}-1=(x-1)^{p}\,;$ car le binome de Newton nous donne :

$(x-1)^{p}=x^{p}-px^{p-1}+{\frac {p.p-1}{2}}x^{p-2}-{\frac {p.p-1.p-2}{2.3}}x^{p-3}+{\text{etc}}.-1.$

Or, le premier terme du second membre est $x^{p}\,;$ le dernier est égal à $-1,$ puisque $p$ est impair. Maintenant tous les coëfficients des termes intermédiaires sont entiers, et de plus divisibles par $p,$ à cause que $p$ est premier, et par conséquent ne se peut diviser par aucun des facteurs plus petits $2,\,3,\,4,$ etc., qui forment les dénominateurs des coefficients dont il s’agit. Donc, aux multiples près du nombre $p,$ on a l’équation remarquable :

$(x-1)^{p}=x^{p}-1\,;$

et les racines de $x^{p}-1=\mathrm {M} p$ sont tout-à-fait les mêmes que les racines de l’équation $(x-1)^{p}=\mathrm {M} p.$ Mais il est évident que celles-ci sont toutes égales entre elles et à l’unité : donc l’équation $x^{p}-1=\mathrm {M} p$ a toutes ses racines égales à l’unité.