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L’équation précédente représente la loi du mouvement de la chaleur dans l’intérieur du solide ; mais les températures des points de la surface sont encore assujetties à une condition particulière qu’il est nécessaire d’exprimer. En effet, la quantité de chaleur qui, pendant la durée d’un instant infiniment petit $dt,$ s’écoule dans l’intérieur du solide à travers la surface sphérique placée à la distance $x,$ est égale à $-4\mathrm {K} \pi \,x^{2}{\frac {dz}{dx}}dt$ (voyez lemme I^er, art. 4, p. 207), et cette expression générale est applicable à toutes les valeurs de $x.$ Ainsi en supposant $x=\mathrm {X} ,$ rayon de la sphère, on connaîtra la quantité de chaleur qui passe de la superficie du solide dans le milieu qui l’environne. D’un autre côté cette même quantité est, suivant le principe de la communication de la chaleur, proportionnelle à la température de la surface échauffée, et à l’étendue de cette surface. Elle est égale à $4h\pi \mathrm {X^{2}Z} dt,$ $\mathrm {Z}$ étant la valeur que prend la variable $z$ lorsqu’on fait $x=\mathrm {X} .$ On doit donc avoir l’équation déterminée

$-4\mathrm {K} \pi \,\mathrm {X} ^{2}{\frac {d\mathrm {Z} }{d\mathrm {X} }}dt=4h\pi \mathrm {X^{2}Z} dt,\quad {\text{ou}}\quad \mathrm {K} {\frac {d\mathrm {Z} }{d\mathrm {X} }}+h\mathrm {Z} =0.$

De plus si, dans la valeur de $z$ qui est une fonction de $x$ et $t,$ on suppose $t=0,$ on doit trouver une fonction $\operatorname {F} x$ qui est connue, et qui exprime les valeurs des températures dans l’état initial. Cet état doit être regarde comme entièrement arbitraire. On conclut de ce qui précède que la fonction $z,$ qui contient les variables $x$ et $t,$ et représente le mouvement de la chaleur dans une sphère solide, doit satisfaire 1^o à l’équation générale

${\frac {dz}{dt}}=\mathrm {\frac {K}{CD}} \left({\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dz}{dx}}\right),$