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${\begin{aligned}c=&\ \quad {\frac {1.1.3.3}{4.6.2.8}}.{\frac {7.7}{2.12}}.{\frac {9.9}{4.14}}.{\frac {11.11}{6.16}}\ldots \\d=&-{\frac {1.1.3.3.5.5}{6.8.4.10.2.12}}.{\frac {9.9}{2.16}}.{\frac {11.11}{4.18}}.{\frac {13.13}{16.20}}\ldots \\e=&\ \quad {\frac {1.1.3.3.5.5.7.7}{8.10.6.12.4.14.2.16}}.{\frac {11.11}{2.20}}.{\frac {13.13}{4.22}}.{\frac {15.15}{6.24}}\ldots \\f=&-{\frac {1.1.3.3.5.5.7.7.9.9}{10.12.8.14.6.16.4.18.2.20}}.{\frac {13.13}{2.24}}.{\frac {15.15}{4.26}}.{\frac {17.17}{6.28}}\ldots \end{aligned}}$

La quantité ${\frac {1}{2}}\pi ,$ ou le quart de la circonférence, équivaut, suivant le théorème de Wallis, à

${\frac {2.2.4.1.6.6.8.8.10.10.12.12.14.14\ldots }{1.1.3.3.5.5.7.7.9.9.11.11.13.13\ldots }}.$

Si l’on remarque maintenant quels sont, dans les valeurs de $a,\,b,\,c,\,d,$ etc., les facteurs que l’on doit écrire aux numérateurs et aux dénominateurs, pour y compléter double série des nombres impairs et des nombres pairs, on trouvera que les facteurs à suppléer sont :

Pour $b,\quad \ \ {\frac {3.3}{6}}$
Pour $c,\quad \ \ {\frac {5.5}{10}}$
Pour $d,\quad \ \ {\frac {7.7}{14}}$
Pour $e,\quad \ \ {\frac {9.9}{18}}$
Pour $f,\quad {\frac {11.11}{22}}$

etc.

$\left.{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right\}$

;          et l’on en conclut          

$\left\{{\begin{matrix}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\end{matrix}}\right.$

$a=\quad 2.{\frac {2}{\pi }}$
$b=-2.{\frac {2}{3\pi }}$
$c=\quad 2.{\frac {2}{5\pi }}$
$d=-2.{\frac {2}{7\pi }}$
$e=\quad 2.{\frac {2}{9\pi }}$
$f=-2.{\frac {2}{11\pi }}$
etc.

C’est ainsi qu’on est parvenu à effectuer entièrement les