que l’on a trouvée précédemment. Dans ce cas les courbes dont nous avons parlé plus haut, et qui ont pour équations
![{\displaystyle y=\sin .x,\quad y=\sin .2x,\quad y=\sin .3x,\quad y=\sin .4x,\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3932949703d3f27465e592b6721da99f4282922)
n’éprouvent aucun changement lorsqu’on multiplie leurs ordonnées par les ordonnées correspondantes de la courbe arbitraire, parce qu’on suppose ici que cette dernière courbe a toutes ses ordonnées égales à l’unité. Les coëfficients
sont les aires comprises entre ces courbes et l’axe, depuis
jusqu’à
Ces aires sont en effet proportionnelles à
Il faut toujours remarquer que lorsqu’on est parvenu à développer une fonction
en série de sinus d’arcs multiples, la valeur du développement
est la même que celle de la fonction
tant que la valeur de la variable
est comprise entre
et
mais lorsque la valeur de
sort de ces limites, celle du développement et celle de la fonction ne sont point nécessairement égales, et peuvent devenir entièrement différentes. Cette conséquence est manifeste dans l’exemple suivant.
Supposons que la fonction dont on demande le développement soit
on aura, d’après le théorème précédent,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi x=\sin .x\mathrm {S} (x\sin .xdx)+\sin .2x\mathrm {S} (\sin .2xdx)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c16d71ea988c1fe16392efe07791895865d77c90)
L’intégrale
prise entre les limites convenables, équivaut à
Le signe
doit être choisi lorsque
est impair, et le signe
lorsque
est pair. On aura donc pour les valeurs des divers coëfficients,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}x=\sin .x-{\frac {1}{2}}\sin .2x+{\frac {1}{3}}\sin .3x-{\frac {1}{4}}\sin .4x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb22a77a995aeeb31e9e7ad735bff0c34ee63b9b)