25. On développera pareillement en séries de sinus d’arcs multiples, les fonctions différentes de celles où il n’entre que des puissances impaires de la variable. Pour apporter un exemple qui ne laisse aucun doute sur la possibilité de ce développement, je choisirai la fonction
qui ne contient que des puissances paires, et qu’on développera sous la forme suivante :
quoiqu’il n’entre dans cette dernière série que des puissances impaires. On aura en effet, d’après le théorème précédent,
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \cos .x=\sin .x\mathrm {S} (\cos .x\sin .xdx)+\sin .2x\mathrm {S} (\cos .x\sin .2xdx)+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98427f725913cd0bb305a9f3c324065a8cbdb2c3)
L’intégrale
équivaut à zéro lorsque
est un nombre impair, et à
lorsque
est un nombre pair ; si l’on fait successivement
etc. on aura la série toujours convergente
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi \cos .x={\frac {2}{1.3}}\sin .2x+{\frac {4}{3.5}}\sin .4x+{\frac {6}{5.7}}\sin .6x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d50cb5a9a09d0ddd55bd6895b8354c16d9413019)
etc.
Ce résultat a cela de remarquable, qu’il offre le développement du cosinus en une suite de fonctions dont chacune ne contient que des puissances impaires. Si on fait dans l’équation précédente
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}{\frac {\pi }{\sqrt {2}}}={\frac {2}{1.3}}-{\frac {6}{5.7}}+{\frac {10}{9.11}}-{\frac {14}{13.15}}\ldots &={\frac {1}{2}}\left({\frac {4}{1.3}}-{\frac {10}{5.7}}+{\frac {20}{9.11}}-\ldots \right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}-\ldots \right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/526f9cff65e77074e51832077fcbe2fa5a1dee02)
Cette dernière série est connue (Introd. ad analysin infin. Cap. X).