Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/670

${\frac {4}{\pi }}\left(\sin .\alpha \sin .x+{\frac {1}{3^{2}}}\sin .3\alpha \sin .3x+{\frac {1}{5^{2}}}\sin .5\alpha \sin .5x+\ldots \right).$

Il suit de-là qu’en appelant $x,\,y,\,z$ les coordonnées d’un point quelconque de la surface supérieure de la pyramide quadrangulaire que nous avons formée, on aura pour l’équation de la surface du polyèdre, entre les limites $x=0,$ $x=\pi ,$ $y=0,$ $y={\frac {1}{2}}\pi ,$

$z={\frac {\sin .y\sin .x}{1^{2}}}+{\frac {\sin .3y\sin .3x}{3^{2}}}+{\frac {\sin .5y\sin .5x}{5^{2}}}+{\frac {\sin .7y\sin .7x}{7^{2}}}+\ldots .$

Il suit évidemment des remarques précédentes, que I’on peut développer une fonction quelconque en séries trigonométriques. Ces suites, formées de sinus ou de cosinus d’arcs multiples, sont propres à représenter toutes les fonctions arbitraires et les ordonnées des lignes ou des surfaces dont la loi est discontinue. Non-seulement la possibilité de ce développement est démontrée, mais on en détermine effectivement toutes les parties. La valeur d’un coëfficient quelconque dans l’équation

$\varphi x=a_{1}\sin .x+a_{2}\sin .2x+a_{3}\sin .3x+\ldots +a_{i}\sin .ix+\ldots$

est celle d’une intégrale définie $\mathrm {S} (\varphi x\sin .ixdx),$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$ Quelle que puisse être la fonction $\varphi x,$ l’intégrale a une valeur déterminée qui peut être introduite dans le calcul. Les valeurs de ces intégrales definies sont analogues à celle de l’aire totale $\mathrm {S} \left[\varphi (x)dx\right]$ comprise entre la courbe et l’axe dans un intervalle déterminé, ou à celle des quantités mécaniques, telles que les coordonnées du centre de gravité de cette aire. Il est évident que toutes ces